被地球创飞了
大家高中都学过开普勒三定律对吧!下面我们来证明它们是对的.
由于难度不太一样,我们微调一下顺序.
开普勒第二定律
根据角动量守恒,当然有\(\vec r\times \vec p=C\)为定值.又根据机械能守恒,其在某一个点的机械能应该为\(-\frac{GmM}{r}+\frac{p^2}{2m}\).
先考虑证明开普勒第二定律,取一段极小时间\(\text d t\),考虑掠过的面积应该是\(\text d S=\frac {1}{2}\vec r\times (\vec r+\text d \vec r)=\frac {1}{2}\vec r\times \text d \vec r\),于是掠面速度\(V=\frac{\text d S}{\text d t}=\frac {1}{2m}\vec r\times \vec p\)是一个常数.
开普勒第三定律
那么\(T=\frac{S}{V}=\frac{2m\times ab\pi}{\vec r\times \vec p}=mab\frac{2\pi}{C}\).
那么\(\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2 m^2b^2}{aC^2}\).
根据机械能守恒,当然应该有在近日点和远日点机械能相等,那自然有: \[ -\frac{GmM}{a+c}+\frac{C^2}{2m(a+c)^2}=-\frac{GmM}{a-c}+\frac{C^2}{2m(a-c)^2}\\ m^2=C^2\frac{a}{b^2GM} \] 带入得到\(\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}\)是一个定值.
开普勒第一定律
我们知道圆锥曲线的极坐标方程是:
\[ r(\theta)=\frac{ep}{1-e\cos\theta} \]
其中\(e\)是离心率,\(p\)是准焦距(焦点到准线的距离).
后面不会了,开摆!