被豌豆创飞了

在YT2S 2021级生2课上有一个著名的open problem,也就是在计算自由交配的时候能否拆开考虑,下面我来尝试写一点自己的理解.

首先来看两个问题(前置条件均为孟德尔第二次杂交实验):

1. 将F2中双显性植株自由交配,求后代表现型及比例.
2. 将F2中单显性植株(包括两种单显性植株)自由交配,求后代表现型及比例.

为了方便笔者书写,不妨设这两对基因是\(A/a\)和\(B/b\).

先来看第一个问题,双显性植株中应该有:\(\frac{1}{9}AABB,\frac{2}{9}AABb,\frac{2}{9}AaBB,\frac{4}{9}AaBb\).先让第一组基因自由交配,也就是只看\(A/a\),我们有\(\frac{1}{3}AA\)和\(\frac{2}{3}Aa\),产生\(\frac{2}{3}A\)和\(\frac{1}{3}a\)配子,得到\(AA:Aa:aa=4:4:1\),也就是\(A\_:aa=8:1\).对另一对也这么考虑,最终得到\(A\_B\_:A\_bb:aaB\_:aabb=64:8:8:1\).

非常合理且简洁对吧,但如果你同样拆开考虑第二个问题,会发现这么做是错误的.

我们生物老师LL老师给出的解释是,单显性植株的个体是\(A\_bb\)和\(aaB\_\),它们的基因型并没有组合的非常彻底,也就是并没有出现\(aabb\)和\(A\_B\_\)个体,导致不能乱拆开.

而直觉上感觉这个东西和独立性有关对吧,我们来简单证明一下:

约定\(X\)是\(AA,Aa\)或\(aa\),\(Y\)则是\(BB,Bb,bb\),那么:\(P(XY)=P(Y|X)P(X)\).如果可以拆开,那么\(P(XY)=P(X)P(Y)\),于是有:\(P(Y|X)=P(Y)\),也就是这两种基因型互相独立就行,老师说的对啊!

如果只是这样就水了一篇博客非常无聊对吧,能不能证明一点更好玩的结论呢?

考虑设产生四种配子\(AB,Ab,aB,ab\)的概率分别是\(x,y,z,w\),其中\(x+y+z+w=1\).

使用生成函数技巧,配子法给出的答案应该是:\((x\ AB+y\ Ab+z\ aB+w\ ab)^2\),而拆分再乘起来的答案应该是\(((x+y)A+(z+w)a)^2((x+z)B+(y+w)b)^2\),其中\(A,B,a,b\)均为形式幂.

如果两边相等,有:

\[ (x\ AB+y\ Ab+z\ aB+w\ ab)^2=((x+y)A+(z+w)a)^2((x+z)B+(y+w)b)^2\\ (x+y+z+w)(x\ AB+y\ Ab+z\ aB+w\ ab)=((x+y)A+(z+w)a)((x+z)B+(y+w)b)\\ \] 两边展开,就可以知道它的充分必要条件是\(P(ab)=P(a)P(b)\),也就是产生\(a\)和\(b\)的配子概率是独立的.