简单乐理
前言
这个博客是北京大学课程《音乐与数学》的相关笔记.然而我懒得画五线谱以及插入钢琴图片,所以这里我们只空谈理论.
本人在大学前并未学过相关乐理,所以下面的个人理解当然可能会出错.
泛音列
拍音理论
假设两个正弦单音的频率分别是\(\omega,\omega+\delta\),那么它们叠加后是: \[ \sin(2\pi(\omega+\delta)t)+\sin(2\pi\omega t)\\ =2\sin\left(2\pi(\omega+\frac{\delta}{2})t\right)\cos(\pi\delta t) \] 注意到这个声音受到\(\cos(\pi\delta t)\)的控制.因此会以\(\frac{\delta}{2}\)的频率振动,由于\(\delta\)应该远小于\(\omega\),这里就会产生\(\delta=|\omega_1-\omega_2|\)个拍音.
Mersenne定律
考虑弦乐的情况,将一根弦理想化后,可以只关注它的三个参数:
- 弦长\(L\).
- 张力\(T\).
- 线密度\(\rho\).
对于弦的振动解微分方程,这里我不是很想解了啊!所以我们直接放结论,最终得到的会是一个无穷级数,这个无穷级数的每一项都会以正弦规律振动,其中第\(n\)项的频率满足: \[ f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\rho}} \] 其中我们将\(f_1\)称为基频,相应的声音称为基音,而将剩下的频率对应的声音统称为泛音,其中\(f_n,n\geq 2\)对应的是第\(n-1\)泛音.
特别地,如果我们干脆记\(f=f_1\),上述结果告诉我们弦的振动产生的一列频率是: \[ f,2f,3f,\cdots \] 这个序列通常被称为泛音列.
特别地,上述的频率其实是固定了点来讨论的,实际上的泛音要更为复杂,会在一根弦上的不同位置处产生不同的加权.实际上对于不同的\(n\),它们的泛音列长这个样子:
其中标注的点在振动中均是固定不变的.
这其实是某些弦乐演奏中一些按弦技巧的基础.例如这里,如果我用手轻触中间点,我就可以消灭掉所有的\(f_{2k+1}\),泛音列中只剩下\(2f,4f,\cdots\).我们后面会再提这个事,这意味着我弹出的音高了八度.那如果我按\(\frac{1}{3}\)处呢?那泛音列中就会只剩下\(3f,6f,9f,\cdots\),也就是先高一个纯八度,再高一个纯五度.
还有拨弦,如果我在中间拨弦会发生什么呢?由于我的拨动使得整个弦应该以中间为对称形成一个偶函数,中间的点一定在波动,因此泛音列中剩下的就会是\(f,3f,5f,\cdots\).
管乐器
管乐器中振动的变为空气柱,不过吧空气柱这个东西振动的时候会略微超出管口,因此会有管口矫正这个事存在.
再就是,管乐器其实分为两种:开管(两面开口)和闭管(单面开口).而且不像琴弦的两端是固定的.一个自然的想法是,根据上面我们放的那张图,开口的那个位置一定要振动,而闭口的那个位置一定被卡住不动.这意味着开管和闭管的泛音列天然不同.具体来说:
开管的泛音列: \[ f,2f,3f,4f,\cdots \] 闭管的泛音列: \[ f,3f,5f,7f \] 另外,相同长度的管,开管的基音比闭管高了一个八度.
管乐器有一种演奏方式是超吹.简单来说,当你用力吹的时候,直觉上随着你用力越大,你吹出来的音的频率应该是连续的.但实际上听感更接近于离散的.这是因为从一开始整个泛音列就都是存在的,只是当气流加快的时候,后面的音在某种程度上被”加强”了,所以对于开管来说,你会先听到一个高八度的音,再听到一个高五度的音.
泛音列重合理论
既然如此,我们可以见到,当两个音的基频的比较为简单的时候,它们产生的泛音列重合程度就会较高.例如: \[ f,2f,3f,4f,\cdots\\ 2f,4f,6f,8f,\cdots \] 或是: \[ f,2f,3f,4f,\cdots\\ \frac{3}{2}f,3f,\frac{9}{2}f,6f,\cdots \] 这从相当的程度解释了为什么理想的音程全都是简单整数比.
律制
要讲律制,首先要知道从经验上来讲,人耳对于音乐的听觉其实并非线性.换言之,当你听两个音的时候,你关注的可不是它们之间的频率差值,而可能更关注它们之间的频率比值.类似地,其实人听声压的时候靠的也是比值,例如分贝的定义是\(L_p=20\log_{10}(\frac{p}{p_0})\),其中\(p_0=20\mu Pa\).
音程
我们称两个音级之间的距离为音程,其中高的音称为冠音,而低的音被称为根音,一个音程应该由两个参数决定:度数和半音数,简单来说,度数是跨越的音名数量,而半音数是跨越的半音数量.表格长这样:
| 度数 | 半音数 | 名称 |
|---|---|---|
| 一 | 0 | 纯一度 |
| 二 | 1 | 小二度 |
| 二 | 2 | 大二度 |
| 三 | 3 | 小三度 |
| 三 | 4 | 大三度 |
| 四 | 5 | 纯四度 |
| 四 | 6 | 增四度 |
| 五 | 6 | 减五度 |
| 五 | 7 | 纯五度 |
| 六 | 8 | 小六度 |
| 六 | 9 | 大六度 |
| 七 | 10 | 小七度 |
| 七 | 11 | 大七度 |
| 八 | 12 | 纯八度 |
从这套理论出发,毕达哥拉斯说我们找一下最简整数比:注意到:
| 音程 | 频率比 |
|---|---|
| 纯八度 | \(2:1\) |
| 纯五度 | \(3:2\) |
| 纯四度 | \(4:3\) |
| 大三度 | \(5:4\) |
| 小三度 | \(6:5\) |
看上去太漂亮了对吧!但是就是这个规定出了大锅.
五度相生律
中国的三分损益法和毕达哥拉斯的五度相生法其实是类似的东西,我们这里只考虑五度相生律.
毕达哥拉斯学派说,我们这么干,规定\(C\)的频率(当时其实不存在频率的概念,但我们这里就为了方便这么说了)为\(1\),然后每次向上升一个纯五度,如果超出去了呢,那就降一个八度降回来.回忆到纯五度是七个半音,这相当于求\(\{7k\}\pmod{12}\)这个数列对吧,简单数论知识告诉我们它必然能遍历\(12\)种情况,具体而言: \[ \begin{aligned} C\to && G\to &&D\to &&A\to &&E\to &&B\to\\ 1\to&&\frac{3}{2}\to&&\frac{3^2}{2^3}\to&&\frac{3^3}{2^4}\to&&\frac{3^4}{2^6}\to&&\frac{3^5}{2^7}\to\\ \\ \\ \#F\to &&\#C\to &&\#G\to &&\#D\to &&\#A\to &&\#E\\ \frac{3^6}{2^9}\to&&\frac{3^7}{2^{11}}\to&&\frac{3^8}{2^{12}}\to&&\frac{3^9}{2^{14}}\to&&\frac{3^{10}}{2^{15}}\to&&\frac{3^{11}}{2^{17}}\\ \end{aligned} \] 我们是拿纯八度和纯五度生成的所有的音,因此纯五度肯定是准的,那么与之对应的纯四度肯定是准的.但是看三度音程就会发现问题,例如大三度\(CE\)的比是\(\frac{81}{64}>\frac{80}{64}=\frac{5}{4}\).
更难过的是就算我们按照纯八度和纯五度生成的,这个纯八度也有点难绷.具体而言这里的\(\#E\ne F\),你对着这个\(\#E\)往上再升一个音得到的理应是\(C'=\frac{3^{12}}{2^{18}}>2\),具体来说\(\frac{3^{12}}{2^{19}}\approx 1.013643\),这就出事了,这个东西转一圈并没有转到理想的纯八度音阶上,这个问题在中国古代的三分损益上也体现了,那里的名字叫旋宫不归,这里的话则是将这个略大于\(1\)的数叫做毕达哥拉斯音差.
仔细分析一下就会发现这个问题几乎是不可避免的,因为你上升\(12\)个纯五度,再下降\(7\)个纯八度理应回到原点,可是: \[ (\frac{3}{2})^{12}\times (\frac{1}{2})^7>1 \] 这下这下了.
纯律
其实我们刚才就能见到真正完美符合简单整数比的律根本调不出来.但是能不能让一些常用的音程(比如纯八度,纯五度,纯四度,大三度)尽可能准呢.这就是纯律在干的事.
还是规定\(C\)的频率为\(1\).接下来用正三和弦(一个大三度和一个小三度)\(C-E-G\),\(F-A-C'\),\(G-B-D'\)的比例是\(4:5:6\)确定剩下的: \[ \begin{aligned} C&&D&&E&&F&&G&&A&&B&&C'&&D'\\ 1&&\frac{9}{8}&&\frac{5}{4}&&\frac{4}{3}&&\frac{3}{2}&&\frac{5}{3}&&\frac{15}{8}&&2&&\frac{9}{4} \end{aligned} \] 所以现在大三度和小三度都准了.但问题又来了:
- 五度音程\(D-A\)不协和,比例为\(\frac{80}{54}<\frac{81}{54}=\frac{3}{2}\).这直接导致了转调会出错.
- 有两种不同的大二度:音程\(C-D,F-G,A-B\)的比例是\(\frac{9}{8}\)而音程\(D-E,G-A\)的比例为\(\frac{10}{9}\).
- 谐调音差:从\(C\)出发升高四个纯五度,降低两个八度和一个大三度后,得到的是:\((\frac{3}{2})^4\times (\frac{1}{2})^2\times \frac{4}{5}=\frac{81}{80}=1.0125>1\).
十二平均律
既然我们一开始就说了律是根据比值来定的,为什么不直接简单一点,干脆用\(\sqrt[12]{2}\)来平均律制呢?于是将近五百年前就有了朱载堉这位手开十二次根号的神人.这也是所有律法中几乎最简单的一种了,以至于我到这里发现没啥可写的了.
但它的问题也是最一眼能看出来的,那就是除了纯八度,全都不准.
先在这里定义音分的概念,设两个声音的频率分别是\(f_1,f_2\),则它们的音分数定义为\(1200\log_2(\frac{f_2}{f_1})\),容易见到十二平均律拿到的一个半音恰好是\(100\)音分.
用音分可以迅速确定一下,发现十二平均律这玩意准的离谱,虽然哪里都差一点,但哪里差的都不多.