被地球创飞了

大家高中都学过开普勒三定律对吧!下面我们来证明它们是对的.

由于难度不太一样,我们微调一下顺序.

开普勒第二定律

根据角动量守恒,当然有$\vec{ r } \times \vec{ p } = C$为定值.又根据机械能守恒,其在某一个点的机械能应该为$- \frac{ GmM }{ r } + \frac{ p^2 }{ 2 m }$.

先考虑证明开普勒第二定律,取一段极小时间$\text{ d } t$,考虑掠过的面积应该是$\text{ d } S = \frac{ 1 }{ 2 } \vec{ r } \times ( \vec{ r } + \text{ d } \vec{ r } ) = \frac{ 1 }{ 2 } \vec{ r } \times \text{ d } \vec{ r }$,于是掠面速度$V = \frac{ \text{ d } S }{ \text{ d } t } = \frac{ 1 }{ 2 m } \vec{ r } \times \vec{ p }$是一个常数.

开普勒第三定律

那么$T = \frac{ S }{ V } = \frac{ 2 m \times ab \pi }{ \vec{ r } \times \vec{ p } } = mab \frac{ 2 \pi }{ C }$.

那么$\frac{ T^2 }{ a^3 } = \frac{ 4 \pi^2 m^2 b^2 }{ aC^2 }$.

根据机械能守恒,当然应该有在近日点和远日点机械能相等,那自然有:

$$\begin{aligned} - \frac{ GmM }{ a + c } + \frac{ C^2 }{ 2 m ( a + c )^2 } & = - \frac{ GmM }{ a - c } + \frac{ C^2 }{ 2 m ( a - c )^2 } \\ m^2 & = C^2 \frac{ a }{ b^2 GM } \end{aligned}$$

带入得到$\frac{ T^2 }{ a^3 } = \frac{ 4 \pi^2 }{ GM }$是一个定值.

开普勒第一定律

我们知道圆锥曲线的极坐标方程是:

$$r ( \theta ) = \frac{ ep }{ 1 - e \cos \theta }$$

其中$e$是离心率,$p$是准焦距(焦点到准线的距离).

后面不会了,开摆!