被摆球创飞了

发表于 2025-06-23 分类于被文化课创飞了 Waline：

今晚学弟问了我这么一个问题:

对于一个圆锥摆,设其绳上拉力为$T$,我们有:

$\begin{aligned} T \sin \theta & = m \omega^2 \sin \theta L \\ T & = m \omega^2 L \end{aligned}$

那么问题来了:当小球自然下垂的时候,$T = mg$,但是$\omega = 0$,左边不等于右边???

怎么处理这个问题呢?

下面是我个人的想法啊,不一定正确.

冷静一下,$\omega = \frac{ v }{ r }$,我们的确能确认自然下垂的时候$v = 0$,但由于$r$也是$0$,我们没道理判定$\omega = 0$.

那么我们把角速度换成线速度就有:

$\begin{aligned} T \sin \theta & = m \frac{ v^2 }{ \sin \theta L } \\ T \sin^2 \theta & = \frac{ mv^2 }{ L } \end{aligned}$

这样极限情况下两边就相等了(均为$0$).

或者说我们还可以这么干:

考虑$T = \frac{ mg }{ \cos \theta }$,所以$\omega^2 = \frac{ g }{ L \cos \theta }$,注意到其实$\omega$是随着小球下落而单调递减的,但是不可能减到$0$.

另一个想法是:考虑先放一个实体圆锥(可提供支持力),让球在圆锥上转圈,然后逐渐加速到支持力$N = 0$,此时小球会飘起来.我们观察一下这个式子是啥:

考虑引入离心力,只需要让离心力,重力,支持力和拉力四力平衡即可,设绳子与竖直方向的夹角为$\theta$,作正交分解后立刻有:

$\begin{cases} N \cos \theta = T \sin \theta - m \omega^2 L \sin \theta \\ N \sin \theta = mg - T \cos \theta \end{cases}$

替换掉其中的$N$,得到:

$\begin{aligned} mg \cos \theta - T \cos^2 \theta & = T \sin^2 \theta - m \omega^2 L \sin^2 \theta \\ T & = mg \cos \theta + m \omega^2 L \sin^2 \theta \end{aligned}$

考虑$T$和$\omega^2$的函数关系,小球从在圆锥摆上的状态到飘起来的状态应该是连续的两段直线,注意到当$\theta \rightarrow 0$的时候,它俩的关系是$T = mg$的平行于$\omega^2$轴的直线,这段直线会一直延伸到$\omega$的最低点,也就是$\omega = \sqrt{ \frac{ g }{ L } }$的点然后再转上去.

如果这个文章就这么结束还是有点无聊,不如让我们来看个类似的问题:

先来看第一问:

设水平向左为正方向,设小球相对于滑块的水平速度为$v_1$,滑块速度为$v_2$.

水平方向动量守恒,当然有$m ( v_1 - v_2 ) = Mv_2$.

此时小球的总速度应该为$v = \sqrt{ ( v_1 - v_2 )^2 + ( \frac{ v_1 \sin \theta }{ \cos \theta } )^2 } = v_2 \sqrt{ ( \frac{ M }{ m } )^2 + \frac{ ( M + m )^2 \sin^2 \theta }{ m^2 \cos^2 \theta } }$.

小球和滑块的总机械能守恒,当然有:$\frac{ 1 }{ 2 } mv^2 + \frac{ 1 }{ 2 } Mv_2^2 = mgR \cos \theta$.

两式联立,解得:$v_2 = \sqrt{ \frac{ 2 m^2 gR \cos \theta }{ ( Mm + M^2 ) + ( M + m )^2 \tan^2 \theta } } = \sqrt{ \frac{ 2 m^2 gR \cos^3 \theta }{ ( m + M ) ( M + m \sin^2 \theta ) } }$.

看上去只是麻烦而已,也没那么难嘛.

再来看第二问:

考虑$a_n = \frac{ ( \frac{ v_1 }{ \cos \theta } )^2 }{ R } = \frac{ v_2^2 ( M + m )^2 }{ m^2 R \cos^2 \theta } = \frac{ 2 g ( M + m ) \cos \theta }{ M + m \sin^2 \theta }$,

而滑块的水平加速度大小应该是$a ‘ = - \frac{ N \sin \theta }{ M }$,那么惯性力$F ‘ = - a ‘ m = \frac{ mN \sin \theta }{ M }$.

而$a_n m = N - mg \cos \theta + F ‘ \sin \theta$,$\frac{ M + m \sin^2 \theta }{ M } N = ma_n + mg \cos \theta = \frac{ 2 gm ( M + m ) \cos \theta }{ M + m \sin^2 \theta } + mg \cos \theta = mg \cos \theta ( \frac{ 3 M + 2 m + m \sin^2 \theta }{ M + m \sin^2 \theta } )$,整理得到$N = Mm \cos \theta ( \frac{ 3 M + 3 m - m \cos^2 \theta }{ ( M + m \sin^2 \theta )^2 } )$.方向沿半径方向朝向圆心.

这里就要用惯性力了.