被摆球创飞了
今晚学弟问了我这么一个问题:
对于一个圆锥摆,设其绳上拉力为\(T\),我们有:
\[ \begin{aligned} T \sin \theta & = m \omega^2 \sin \theta L \\ T & = m \omega^2 L \end{aligned} \]
那么问题来了:当小球自然下垂的时候,\(T = mg\),但是\(\omega = 0\),左边不等于右边???
怎么处理这个问题呢?
下面是我个人的想法啊,不一定正确.
冷静一下,\(\omega = \frac{ v }{ r }\),我们的确能确认自然下垂的时候\(v = 0\),但由于\(r\)也是\(0\),我们没道理判定\(\omega = 0\).
那么我们把角速度换成线速度就有:
\[ \begin{aligned} T \sin \theta & = m \frac{ v^2 }{ \sin \theta L } \\ T \sin^2 \theta & = \frac{ mv^2 }{ L } \end{aligned} \]
这样极限情况下两边就相等了(均为\(0\)).
或者说我们还可以这么干:
考虑\(T = \frac{ mg }{ \cos \theta }\),所以\(\omega^2 = \frac{ g }{ L \cos \theta }\),注意到其实\(\omega\)是随着小球下落而单调递减的,但是不可能减到\(0\).
另一个想法是:考虑先放一个实体圆锥(可提供支持力),让球在圆锥上转圈,然后逐渐加速到支持力\(N = 0\),此时小球会飘起来.我们观察一下这个式子是啥:
考虑引入离心力,只需要让离心力,重力,支持力和拉力四力平衡即可,设绳子与竖直方向的夹角为\(\theta\),作正交分解后立刻有:
\[ \begin{cases} N \cos \theta = T \sin \theta - m \omega^2 L \sin \theta \\ N \sin \theta = mg - T \cos \theta \end{cases} \]
替换掉其中的\(N\),得到:
\[ \begin{aligned} mg \cos \theta - T \cos^2 \theta & = T \sin^2 \theta - m \omega^2 L \sin^2 \theta \\ T & = mg \cos \theta + m \omega^2 L \sin^2 \theta \end{aligned} \]
考虑\(T\)和\(\omega^2\)的函数关系,小球从在圆锥摆上的状态到飘起来的状态应该是连续的两段直线,注意到当\(\theta \rightarrow 0\)的时候,它俩的关系是\(T = mg\)的平行于\(\omega^2\)轴的直线,这段直线会一直延伸到\(\omega\)的最低点,也就是\(\omega = \sqrt{ \frac{ g }{ L } }\)的点然后再转上去.
如果这个文章就这么结束还是有点无聊,不如让我们来看个类似的问题:
先来看第一问:
设水平向左为正方向,设小球相对于滑块的水平速度为\(v_1\),滑块速度为\(v_2\).
水平方向动量守恒,当然有\(m ( v_1 - v_2 ) = Mv_2\).
此时小球的总速度应该为\(v = \sqrt{ ( v_1 - v_2 )^2 + ( \frac{ v_1 \sin \theta }{ \cos \theta } )^2 } = v_2 \sqrt{ ( \frac{ M }{ m } )^2 + \frac{ ( M + m )^2 \sin^2 \theta }{ m^2 \cos^2 \theta } }\).
小球和滑块的总机械能守恒,当然有:\(\frac{ 1 }{ 2 } mv^2 + \frac{ 1 }{ 2 } Mv_2^2 = mgR \cos \theta\).
两式联立,解得:\(v_2 = \sqrt{ \frac{ 2 m^2 gR \cos \theta }{ ( Mm + M^2 ) + ( M + m )^2 \tan^2 \theta } } = \sqrt{ \frac{ 2 m^2 gR \cos^3 \theta }{ ( m + M ) ( M + m \sin^2 \theta ) } }\).
看上去只是麻烦而已,也没那么难嘛.
再来看第二问:
考虑\(a_n = \frac{ ( \frac{ v_1 }{ \cos \theta } )^2 }{ R } = \frac{ v_2^2 ( M + m )^2 }{ m^2 R \cos^2 \theta } = \frac{ 2 g ( M + m ) \cos \theta }{ M + m \sin^2 \theta }\),
而滑块的水平加速度大小应该是\(a ' = - \frac{ N \sin \theta }{ M }\),那么惯性力\(F ' = - a ' m = \frac{ mN \sin \theta }{ M }\).
而\(a_n m = N - mg \cos \theta + F ' \sin \theta\),\(\frac{ M + m \sin^2 \theta }{ M } N = ma_n + mg \cos \theta = \frac{ 2 gm ( M + m ) \cos \theta }{ M + m \sin^2 \theta } + mg \cos \theta = mg \cos \theta ( \frac{ 3 M + 2 m + m \sin^2 \theta }{ M + m \sin^2 \theta } )\),整理得到\(N = Mm \cos \theta ( \frac{ 3 M + 3 m - m \cos^2 \theta }{ ( M + m \sin^2 \theta )^2 } )\).方向沿半径方向朝向圆心.
这里就要用惯性力了.