被炮弹创飞了
高中物理的时候有这么一个题,然后今天刚好信物讲到了,顺手来总结一下.
先来个简单版本:我从一个点打炮弹,目标与我的距离为\(x\),且目标比我高\(h\),问以什么样的角度打出炮弹能使得击中目标并且初速度最小.
我们当然会第一反应认为这是一个很简单的问题,考虑\(t = \frac{ x }{ v_0 \cos \theta }\),因为我们很容易写出方程:
\[ \begin{aligned} x \frac{ \sin \theta }{ \cos \theta } - \frac{ gx^2 }{ 2 v_0^2 \cos^2 \theta } & = h \\ \frac{ 1 }{ v_0^2 } & = \frac{ 1 }{ gx^2 } ( x \sin ( 2 \theta ) - h \cos ( 2 \theta ) - h ) \\ \frac{ 1 }{ v_0^2 } & = \frac{ 1 }{ gx^2 } ( \sqrt{ x^2 + h^2 } \sin ( 2 \theta - \varphi ) - h ) , \varphi = \arctan ( \frac{ h }{ x } ) \end{aligned} \]
只需要对后面那个东西用辅助角公式就可以了对吧,非常简单啊!
然而,我们稍微改下题面:
我从一个高度为\(h\)的点打炮弹,初速度确定为\(v_0\),问以什么样的角度打炮弹能打得最远.
这有啥区别啊,只需要改个正负号就行了是吧,让我们看看:
\[ \frac{ 1 }{ v_0^2 } = \frac{ 1 }{ gx^2 } ( x \sin ( 2 \theta ) + h \cos ( 2 \theta ) + h ) \]
这下发现问题了,这个\(x\)根本拿不出来啊.
重新按部就班,发现只能用求根公式得到\(x\)的表达式,更进一步地,我们有:
\[ x = \frac{ v_0 \cos \theta ( v_0 \sin \theta + \sqrt{ v_0^2 \sin^2 \theta + 2 gh } ) }{ g } \]
怎么办呢?yth老师给出了一个想法是使用柯西不等式,注意到:
\[ \begin{aligned} x & = \frac{ v_0 \cos \theta ( v_0 \sin \theta + \sqrt{ v_0^2 \sin^2 \theta + 2 gh } ) }{ g } \\ & = \frac{ v_0 \sin \theta v_0 \cos \theta + v_0 \cos \theta \sqrt{ v_0^2 \sin^2 \theta + 2 gh } }{ g } \\ & \leq \frac{ 1 }{ g } ( v_0 \sqrt{ v_0^2 + 2 gh } ) \end{aligned} \]
当且仅当\(v_0^2 \cos^2 \theta = v_0 \sin \theta \sqrt{ v_0^2 \sin^2 \theta + 2 gh } , \frac{ 1 }{ \tan^2 \theta } = \frac{ 2 gh }{ v_0^2 } + 1\)的时候取等.
还有一种策略是考虑对隐函数求导然后令\(\frac{ \text{ d } x }{ \text{ d } \theta } = 0\),这样得到情况会和我们一开始的初始问题得到的答案相等,也就是当\(\tan ( 2 \theta ) = - \frac{ x }{ h }\)的时候\(x\)会取极限.这也很好理解,因为我们如果当前的速度没有用到极限打到最远,总能调整使得得到一个更小的速度打到当前的距离,因此距离还有提高的空间.
有没有更聪明一点的办法呢?
我们注意到初速度是定值,根据机械能守恒定律,末速度的大小一定是个定值,我们考虑:
\[ \vec{ v } = \vec{ v }_0 + \Delta \vec{ v } \]
通过机械能守恒定律可以算出\(| \vec{ v } | = \sqrt{ v_0^2 + 2 gh }\).
注意到\(\vec{ v }\)和\(\vec{ v }_0\)的水平方向分速度是相同的.然后有一个天才的想法是,考虑上述那个向量式的三角形法则,设那个三角形的面积为\(S\),注意到\(\Delta \vec{ v } = gt\),而\(x = v_0 \cos \theta t = \frac{ 2 S }{ g } \leq \frac{ v_0 \sqrt{ v_0^2 + 2 gh } }{ g }\),也就是面积最大的时候应该是\(\vec{ v }_0\)和\(\vec{ v }\)夹角为\(\frac{ \pi }{ 2 }\)的时候.
直接从形式上来看:
\[ \frac{ v_0 \sin \theta v_0 \cos \theta + v_0 \cos \theta \sqrt{ v_0^2 \sin^2 \theta + 2 gh } }{ g } \]
我们知道正交分解的时候从结果上来说可以作分方向的动能定理,因此初速度是\(( v_0 \cos \theta , v_0 \sin \theta )\),末速度是\(( v_0 \cos \theta , - \sqrt{ v_0^2 \sin^2 \theta + 2 gh } ) )\),因此\(x = \frac{ \vec{ v } \times \vec{ v }_0 }{ g }\).
这个想法过于震惊了,以至于我在之后多次回忆起这个题,想去找到初速度与末速度叉积的物理意义.但直到如今我也没有完全理解这个做法.
写到这发现没活整了,顺便在这写一下另一个斜抛题:
抛射质量为\(m\)的小球,抛射倾角为\(\theta\),初速度大小为\(v_0\),所受空气阻力\(\vec{ F }\)与速度\(\vec{ v }\)的关系为\(\vec{ F } = - k \vec{ v }\),其中\(k\)为固定系数,求小球在空气中运行的轨迹曲线.
考虑\(\frac{ \text{ d } \vec{ v } }{ \text{ d } t } = \vec{ a } = \frac{ \vec{ F } + \vec{ G } }{ m } = \frac{ 1 }{ m } ( - k \vec{ v } + m \vec{ g } )\).
于是:
\[ \begin{aligned} \text{ d } \vec{ v } & = \frac{ 1 }{ m } ( - k \vec{ v } + m \vec{ g } ) \text{ d } t \\ \int_{ \vec{ v }_0 }^{ \vec{ v } } \text{ d } \vec{ v } & = \int_{ 0 }^t \frac{ 1 }{ m } ( - k \vec{ v } + m \vec{ g } ) \text{ d } t \\ \vec{ v } & = \frac{ - k \vec{ x } }{ m } + \vec{ g } t + \vec{ v }_0 \\ \begin{cases} \frac{ \text{ d } x }{ \text{ d } t } = \frac{ - kx }{ m } + v_0 \cos \theta \\ \frac{ \text{ d } y }{ \text{ d } t } = \frac{ - ky }{ m } + v_0 \sin \theta + gt \end{cases} \end{aligned} \]
对于第一个式子,令\(w = \frac{ - kx }{ m } + v_0 \cos \theta\)我们有:
\[ \begin{aligned} \frac{ - m }{ k } \frac{ \text{ d } w }{ \text{ d } t } & = w \\ \frac{ - m }{ k } \int_{ v_0 \cos \theta }^{ w } \frac{ \text{ d } w }{ w } & = \int_{ 0 }^t \text{ d } t \\ \ln ( \frac{ \frac{ - kx }{ m } + v_0 \cos \theta }{ v_0 \cos \theta } ) & = \frac{ - k }{ m } t \\ \frac{ - kx }{ mv_0 \cos \theta } + 1 & = e^{ \frac{ - k }{ m } t } \\ x & = \frac{ mv_0 \cos \theta }{ k } ( 1 - e^{ - \frac{ k }{ m } t } ) \end{aligned} \]
同理解出\(y = \frac{ m }{ k } ( ( v_0 \sin \theta + \frac{ mg }{ k } ) ( 1 - e^{ - \frac{ k }{ m } t } ) - gt )\).
综上参数方程是:\(\begin{cases}x = \frac{ mv_0 \cos \theta }{ k } ( 1 - e^{ - \frac{ k }{ m } t } ) \\ y = \frac{ m }{ k } ( ( v_0 \sin \theta + \frac{ mg }{ k } ) ( 1 - e^{ - \frac{ k }{ m } t } ) - gt )\end{cases}\).
轨迹方程是:\(y = ( v_0 \sin \theta + \frac{ mg }{ k } ) \frac{ x }{ v_0 \cos \theta } + \frac{ mg }{ k } \ln ( 1 - \frac{ kx }{ mv_0 \cos \theta } )\).