被豌豆创飞了

在YT2S 2021级生2课上有一个著名的open problem,也就是在计算自由交配的时候能否拆开考虑,下面我来尝试写一点自己的理解.

首先来看两个问题(前置条件均为孟德尔第二次杂交实验):

1. 将F2中双显性植株自由交配,求后代表现型及比例.

2. 将F2中单显性植株(包括两种单显性植株)自由交配,求后代表现型及比例.

为了方便笔者书写,不妨设这两对基因是\(A / a\)和\(B / b\).

先来看第一个问题,双显性植株中应该有:\(\frac{ 1 }{ 9 } AABB , \frac{ 2 }{ 9 } AABb , \frac{ 2 }{ 9 } AaBB , \frac{ 4 }{ 9 } AaBb\).先让第一组基因自由交配,也就是只看\(A / a\),我们有\(\frac{ 1 }{ 3 } AA\)和\(\frac{ 2 }{ 3 } Aa\),产生\(\frac{ 2 }{ 3 } A\)和\(\frac{ 1 }{ 3 } a\)配子,得到\(AA : Aa : aa = 4 : 4 : 1\),也就是\(A \_ : aa = 8 : 1\).对另一对也这么考虑,最终得到\(A \_ B \_ : A \_ bb : aaB \_ : aabb = 64 : 8 : 8 : 1\).

非常合理且简洁对吧,但如果你同样拆开考虑第二个问题,会发现这么做是错误的.

我们生物老师LL老师给出的解释是,单显性植株的个体是\(A \_ bb\)和\(aaB \_\),它们的基因型并没有组合的非常彻底,也就是并没有出现\(aabb\)和\(A \_ B \_\)个体,导致不能乱拆开.

而直觉上感觉这个东西和独立性有关对吧,我们来简单证明一下:

约定\(X\)是\(AA , Aa\)或\(aa\),\(Y\)则是\(BB , Bb , bb\),那么:\(P ( XY ) = P ( Y | X ) P ( X )\).如果可以拆开,那么\(P ( XY ) = P ( X ) P ( Y )\),于是有:\(P ( Y | X ) = P ( Y )\),也就是这两种基因型互相独立就行,老师说的对啊!

如果只是这样就水了一篇博客非常无聊对吧,能不能证明一点更好玩的结论呢?

考虑设产生四种配子\(AB , Ab , aB , ab\)的概率分别是\(x , y , z , w\),其中\(x + y + z + w = 1\).

使用生成函数技巧,配子法给出的答案应该是:\(( x \ AB + y \ Ab + z \ aB + w \ ab )^2\),而拆分再乘起来的答案应该是\(( ( x + y ) A + ( z + w ) a )^2 ( ( x + z ) B + ( y + w ) b )^2\),其中\(A , B , a , b\)均为形式幂.

如果两边相等,有:

$$ \[\begin{aligned} ( x \ AB + y \ Ab + z \ aB + w \ ab )^2 & = ( ( x + y ) A + ( z + w ) a )^2 ( ( x + z ) B + ( y + w ) b )^2 \\ ( x + y + z + w ) ( x \ AB + y \ Ab + z \ aB + w \ ab ) & = ( ( x + y ) A + ( z + w ) a ) ( ( x + z ) B + ( y + w ) b ) \\ \end{aligned}\]

$$

两边展开,就可以知道它的充分必要条件是\(P ( ab ) = P ( a ) P ( b )\),也就是产生\(a\)和\(b\)的配子概率是独立的.