被豌豆创飞了

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在YT2S 2021级生2课上有一个著名的open problem,也就是在计算自由交配的时候能否拆开考虑,下面我来尝试写一点自己的理解.

首先来看两个问题(前置条件均为孟德尔第二次杂交实验):

  1. 将F2中双显性植株自由交配,求后代表现型及比例.

  2. 将F2中单显性植株(包括两种单显性植株)自由交配,求后代表现型及比例.

为了方便笔者书写,不妨设这两对基因是$A / a$和$B / b$.

先来看第一个问题,双显性植株中应该有:$\frac{ 1 }{ 9 } AABB , \frac{ 2 }{ 9 } AABb , \frac{ 2 }{ 9 } AaBB , \frac{ 4 }{ 9 } AaBb$.先让第一组基因自由交配,也就是只看$A / a$,我们有$\frac{ 1 }{ 3 } AA$和$\frac{ 2 }{ 3 } Aa$,产生$\frac{ 2 }{ 3 } A$和$\frac{ 1 }{ 3 } a$配子,得到$AA : Aa : aa = 4 : 4 : 1$,也就是$A _ : aa = 8 : 1$.对另一对也这么考虑,最终得到$A _ B _ : A _ bb : aaB _ : aabb = 64 : 8 : 8 : 1$.

非常合理且简洁对吧,但如果你同样拆开考虑第二个问题,会发现这么做是错误的.

我们生物老师LL老师给出的解释是,单显性植株的个体是$A _ bb$和$aaB _$,它们的基因型并没有组合的非常彻底,也就是并没有出现$aabb$和$A _ B _$个体,导致不能乱拆开.

而直觉上感觉这个东西和独立性有关对吧,我们来简单证明一下:

约定$X$是$AA , Aa$或$aa$,$Y$则是$BB , Bb , bb$,那么:$P ( XY ) = P ( Y | X ) P ( X )$.如果可以拆开,那么$P ( XY ) = P ( X ) P ( Y )$,于是有:$P ( Y | X ) = P ( Y )$,也就是这两种基因型互相独立就行,老师说的对啊!

如果只是这样就水了一篇博客非常无聊对吧,能不能证明一点更好玩的结论呢?

考虑设产生四种配子$AB , Ab , aB , ab$的概率分别是$x , y , z , w$,其中$x + y + z + w = 1$.

使用生成函数技巧,配子法给出的答案应该是:$( x AB + y Ab + z aB + w ab )^2$,而拆分再乘起来的答案应该是$( ( x + y ) A + ( z + w ) a )^2 ( ( x + z ) B + ( y + w ) b )^2$,其中$A , B , a , b$均为形式幂.

如果两边相等,有:

两边展开,就可以知道它的充分必要条件是$P ( ab ) = P ( a ) P ( b )$,也就是产生$a$和$b$的配子概率是独立的.