递归式与和式 发表于 2024-10-05 更新于 2025-04-15 分类于 具体数学 Waline： 汉诺塔问题 Example1(《具体数学》1.2) Solution 1 Example2(《具体数学》1.4) Solution 2 Example3(《具体数学》1.10) Solution 3 Example4(《具体数学》1.11) Solution 4 Example5(《具体数学》1.12) Solution 5 递归式的封闭形式 寻找循环节 Example(《具体数学》1.8) Solution 数学归纳法 Example(《具体数学》1.9) Solution 换元 转化和式 Example1(快速排序时间复杂度) Example2 成套方法 线性递推 特征方程 二阶线性齐次递推 更一般的情况 再再进一步 约瑟夫问题 Example(《具体数学》1.15) Solution 和式 和式的基本运算 和式的封闭形式 交换顺序法 Example1(等差数列求和) Example2(切比雪夫单调不等式) Example3(拉格朗日恒等式) 扰动法 Example1(等比数列求和) Example2(平方和公式) Example3(《具体数学》2.20) Solution3 Example4(《具体数学》2.21) Solution 4 转化为递归式 Example1(《具体数学》2.13) Solution1 转化为积分形式 Example1(平方和公式) Example2(某浙江高考题) 展开和收缩 Example1(平方和公式) Example2(《具体数学》2.14) Solution 2 Example3(《具体数学》2.15) Solution 3 ExampleEX SolutionEX ExampleEX2 SolutionEX2 有限微积分 移位算子 差分算子 逆差分算子 定和式 一些基本的公式 高阶差分 Example([yLOI2020]灼) 牛顿级数 Example 分部求和法则(Abel求和法) Example1 Example2 阅读全文 »
贪心与构造 发表于 2024-10-05 更新于 2025-04-15 分类于 OI Waline： 排除不优策略 Example1(CF1612E) Example2(CF1592F1) Example3(CF1592F2) Example4(CF1666E) Example5(2022zrtg十连测day7 Palindrome) Example6(23省选10连测 day9 C) Example7(异或粽子) Example8() 带悔贪心 Example1 Example2 Example1([EER1]代价) Example2(loj3318) Example3 Example4([UOJ280]题目难度排序) Example5([CF1098D]Eels) Example6(称球游戏) 信息论 判定树 子问题1(已知次品重量) 子问题2(不知次品轻重,已有一个标准球,需知道次品轻重) 子问题3(不知次品轻重,无标准球,需知道次品轻重) 子问题4(不知次品轻重,已有一个标准球,无需知道次品轻重) Example7(Ucup 3rd Stage 8 H) 模型1 Example1(国王游戏) 模型通解 Example2 Example3 模型2 Example 构造 增量构造 Example1 Example2 Example3(CF1770H) Example4(ABC232H) 找中间状态 Example1 阅读全文 »
计算几何 发表于 2024-10-05 更新于 2025-04-15 分类于 OI Waline： 二维计算几何 基本函数 eps sign myabs mysqr Point/Vector 向量内积 向量叉积 向量旋转 Line 判断线段相交 求直线交点 点到线的最短距离 凸多边形面积 基本算法 排序算法 极角排序 水平序排序 二维凸包 定义 实现 旋转卡壳 定义 实现 闵可夫斯基和 定义 实现 半平面交 定义 实现 三维计算几何 基本概念 直线 平面 夹角 两直线夹角. 直线与平面的夹角 交点 基本定理 三余弦定理(最小角定理) 三正弦定理(最大角定理) 阅读全文 »
组合数学 发表于 2024-10-05 更新于 2025-04-15 分类于 具体数学 Waline： 二项式系数 上升幂和下降幂 二项式系数的定义 基本的二项式恒等式 扩展的二项式恒等式(整数范围内) 拓展的二项式恒等式(实数范围内) 卡特兰数 Example([HNOI2009]有趣的数列) Example2([23省选10连测day7]b) 二项式系数的处理 通过恒等式变形求解 Example1 Example2 Example3 Example4 Example5 转化为递归式/和式求解 Example1 Example2 利用微积分求解 Example 转化为二维平面 Example1 Lucas定理 Example1([CF1770F]Koxia and Sequence) 扩展Lucas定理 斯特林数 第一类斯特林数 第二类斯特林数 斯特林数的扩展 基本斯特林恒等式 补充斯特林恒等式 欧拉数 欧拉数与二项式系数 伯努利数 斐波那契数 斐波那契数的扩展定义 斐波那契数与数论 斐波那契数系 斐波那契数的封闭形式 连项式 阅读全文 »
概率与期望 发表于 2024-10-05 更新于 2025-04-15 分类于 具体数学 Waline： 离散概率 基本定义 期望的简单运算 方差的简单运算 随机抽样调查 条件概率 贝叶斯公式 概率生成函数 Example1 Example2(Penney游戏) Example3([SDOI2017] 硬币游戏) 二项式分布 模型 树上随机游走 Example1 Example2 计数与期望的转换 Example(CodeChef Secplayer) 一些小技巧 Example1(CF865C) Example2(猎人杀) Example3(AGC019F) 数据随机下的性质 树 数 序列 随机化算法的分类 数值概率算法 Monte Carlo算法 求解最优化问题的Monte Carlo算法 求解判定性问题的Monte Carlo算法 正确率与复杂度 算法设计思路1 设计一个能解决问题的确定性算法 向算法引入随机化优化复杂度 算法设计思路2 设计一个能解决问题的确定性算法 向算法引入随机化优化复杂度 Example Example 1(Millar-Rabin算法) Example2(CodeChef MSTONE) Example3(CF364D Ghd) Example4([POI2014]Couriers) Example5([NOI2013] 向量内积) Las Vegas算法(Sherwood算法) 算法设计思路 设计一个能解决问题的确定性算法 向算法引入随机化优化复杂度 Example 快速排序算法 一类由Monte Carlo算法改造而成的算法 Example3(CF329C Graph Reconstruction) Example4([Petrozavodsk Summer-2015. Moscow IPT Contest B]Game With A Fairy) 爬山与模拟退火 爬山 模拟退火 阅读全文 »
文化课数学导论 发表于 2024-10-05 更新于 2025-04-22 分类于 被文化课创飞了 Waline： 概统导论 习惯的更改 从线性角度审视 分布列 两点分布 二项式分布 超几何分布 正态分布 成对数据的统计 样本相关系数 最小二乘法 独立性检验 函数导论 常用对数表 常用指数表 基本函数的图像及性质 \(f(x)=xe^x\) 图像 极值与极限 \(f(x)=x\ln x\) 图像 极值与极限 \(f(x)=\frac{e^x}{x}\) 图像 极值与极限 \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\) 图像 极值与极限 \(f(x)=x-\ln x\) 图像 极值与极限 \(f(x)=\frac{x}{e^x}\) 图像 极值与极限 预处理函数 分离对数 Example 消去指数 Example 消元法 变化条件 Example 变化所求 Example 换元法 普通参数方程 Example 齐次化构造 Example1(对数平均不等式) Example2 Example3 Example4 同构化构造 Example1 不等式相关 基本不等式相关 方程角度的审视 Example 泰勒展开 抽象函数的泰勒展开 常用泰勒展开公式 极值点偏移 Example1 Example2 Example3 切割线放缩 基本的切割线不等式 一般的切割线放缩 Example1 凹凸性反转 Example1 比较大小 Example1 二阶导数 估算定积分 泰勒展开 正经做法 数列导论 递归式的求解 特征根法 特征方程 二阶线性齐次递推 更一般的情况 重定义向 引入矩阵 再进一步 再再进一步 数列中的求和问题 和式的基本运算 交换顺序法 Example1(等差数列求和) Example2(切比雪夫单调不等式) Example3(拉格朗日恒等式) 扰动法 Example1(等比数列求和) Example2(平方和公式) 展开和收缩 Example1(平方和公式) Problme3 Solution3 ProblemEX2 SolutionEX2 有限微积分 移位算子 差分算子 逆差分算子 定和式 一些基本的公式 分部求和法则(Abel求和法) Example1 Example2 基础数论在数列中的应用 Example 构造双射在数列中的应用 不等式放缩在数列中的应用 几何导论 三角相关 三角恒等变换 两角和差公式 倍角公式 半角公式 和差化积 积化和差 万能公式 补充公式 周期函数与初等数论 Example1 向量相关 旋转模型 Example1 爪子模型 Example1 奔驰定理及三角形四心 奔驰定理 外心 Example1 Example2 重心 垂心 内心 立体几何相关 基本概念 直线 平面 夹角 两直线夹角. 直线与平面的夹角 交点 基本定理 三余弦定理(最小角定理) 三正弦定理(最大角定理) 圆锥曲线 约定 椭圆 定义 第一定义 第二定义 第三定义 椭圆方程 标准方程 一般方程 椭圆重要元素 焦半径 焦点弦 焦点三角形 Example Example1 双曲线 定义 第一定义 第二定义 第三定义 双曲线重要元素 焦半径 渐近线 焦点三角形 抛物线 定义 第一定义 抛物线重要元素 焦点弦 通用解法 联立方程 点参 小联立 大联立 配凑法 应用 极点极线 定义 基本性质 使用方法 隐函数求导 线性变换 旋转矩阵 椭圆转化成圆 双曲线转化为反比例函数 抛物线转化为二次函数 极坐标 圆的极坐标方程 直线的极坐标方程 圆锥曲线的极坐标方程 参数方程 圆的参数方程 直线的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 蒙日圆 定义 方程 阅读全文 »
数论相关 发表于 2024-10-05 更新于 2025-04-15 分类于 具体数学 Waline： 整除性及相关 欧几里得算法 一些性质 Example1([CF1656H]Equal LCM Subsets) 基于值域预处理的快速 GCD 裴蜀定理 扩展欧几里得算法 Example1([XVII Open Cup named after E.V. Pankratiev. Grand Prix of Japan(openstrain contest 1489)E]Eel and Grid) 素数及相关 定义 Example1(《具体数学》4.22) 唯一分解定理(算数基本定理) Example1([CF986F]Oppa Funcan Style Remastered) 素数的个数 Example1(《具体数学》4.20) Example2 欧几里得数 费马数 Example1(《具体数学》4.17) Example2(《具体数学》4.18) Miller-Rabin算法 Pollard-Rho算法 狄利克雷前缀和 阶乘 Example(《具体数学》4.55) 互素 Example1(《具体数学》4.42) Example2 Example3(《具体数学》4.63) Stern-Brocot 树 升幂引理 形式一 形式二 同余 Example(《具体数学》4.31) 威尔逊定理 Example1(《具体数学》4.48) Example2(《具体数学》4.40) Example3(《具体数学》4.53) 费马小定理 Example1(《具体数学》4.41) Example2(《具体数学》4.46) 中国剩余定理(crt) 扩展中国剩余定理(excrt) Example1([NOI2018]屠龙勇士) Example2([CF571E]Geometric Progressions) 二次剩余 Example1([CF1091G]New Year and the Factorisation Collaboration) Example2(qoj5021) Example3 BSGS exBSGS 原根和阶 Example1 Example2(《具体数学》4.47) 积性函数 Example(《具体数学》4.58) 狄利克雷卷积 欧拉函数 和法里级数的关系 麦克马洪和式 Burnside定理 Example1([HNOI2009]图的同构计数) 欧拉定理 扩展欧拉定理 Example2([六省联考 2017] 相逢是问候) Example3(《具体数学》4.54) Example1(《具体数学》4.57) Example2 莫比乌斯函数 莫比乌斯反演 min25筛 Example1([uoj188]Sanrd) 杜教筛 Powerful Number筛 Example1([SP20174]DIVCNT3) 整值函数 定义 整值函数的基本性值 整值函数的应用 一类函数与整值函数 迪利克雷抽屉原理 Example1 Example2 计算区间内整数个数 谱 Example 整值函数的递归式 Example 整值函数的恒等式 整值函数的和式 Example1 Example2(类欧几里得算法) Example4([uoj42]Sum) Example5([loj6440]万能欧几里得算法) 阅读全文 »
数据结构相关 发表于 2024-10-05 更新于 2025-04-15 分类于 OI Waline： 数据结构理论 维度 B维正交范围 矩阵乘法归约 矩阵乘法 Example Example1(链颜色数问题) Example2(区间逆序对) Example3 数据结构 分块 Example1(luoguP8527 [Ynoi2003] 樋口円香) Example2(luogu[Ynoi2079] riapq) Example3([CTS2022] 普罗霍洛夫卡) Example4(Walking Plan HDU 6331) Example5(P5063 [Ynoi2014] 置身天上之森) Example6(第二分块:[Ynoi2018]五彩斑斓的世界) 二次离线 Example1(luoguP5047 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II) 二维分块 Example1(luoguP7448 [Ynoi2007] rdiq) Example2(luoguP8530 [Ynoi2003] 博丽灵梦) trie树 Example1([2019zrtg十连测day1]set) 线段树 普通线段树 Example1(luoguP6780 [Ynoi2009] pmrllcsrms) 线段树分治 Example1([2022qbxt国庆Day1]dottlebot) 线段树上二分 Example1([2022qbxt国庆Day3]analysis) Example2 线段树合并 线段树维护矩阵乘法 吉司机线段树 李超线段树 珂朵莉树 Example1(luoguP8512 [Ynoi Easy Round 2021] TEST_152) 猫树 KD-Tree 1D-Tree 2D-Tree 笛卡尔树 Example1([CFgym101613]Factor-free tree) Example2(23省选第一轮集训day5C) 单调队列 Example(loj3151) 树套树 Example1 Example2(Luogu4054 [JSOI2009]计数问题) 数据结构常见套路 分开考虑 Example1(P6105 [Ynoi2010] y-fast trie) 合并信息 Example1([HNOI2011]括号修复 / [JSOI2011]括号序列) Example2(P4198 楼房重建) Example3(CF1017G) 去除冗余信息 Example1(luoguP6617) set维护颜色 Example1(luoguP5278 算术天才⑨与等差数列) 复杂度均摊 Example1(CF702F T-Shirts) Example2(uoj228) Example3(Luogu 4690 [Ynoi2016]镜中的昆虫) 根号分治 Example1(luoguP7722 [Ynoi2007] tmpq) Example2 Example3 Example4 Example5(SHOI2006 Homework) Example6 重链分治 Example1(Luogu5314 [Ynoi2011]ODT) 扫描线 一维扫描线 二维扫描线 Example Example1(CF1609F Interesting Sections) Example2(CF833E) Example3(loj3489) Example4(luoguP7709 「Wdsr-2.7」八云蓝自动机 Ⅱ) Example5(luogu3863) Example6(qoj6304) 莫队 回滚莫队 带修莫队 树上莫队 二次离线莫队 Example Example1([Ynoi2016]这是我自己的发明) Example2([HNOI2016]大数) Example3(luoguP3604 美好的每一天) 区间子区间问题 Example1(CF997E) 时间倒流 Example1([2022qbxt国庆Day6]sgtbeats) Example2([WC2006]水管局长) 数据结构维护分段函数 Example1(CF1540D Inverse Inversions) 根号平衡 Example Example1(区间众数) Example2(CodeChef Chef and Churu) Example3([Ahoi2013]作业) Example4(Bzoj4241历史研究) 阅读全文 »
数学分析 发表于 2024-10-05 更新于 2025-06-04 分类于 大学课程 Waline： 实数 戴德金分割定理 确界存在定理 Example1 阿基米德性质 实数集上的一元函数 性质 奇偶性 有界性 单调性 周期性 基本初等函数 初等函数 代数函数 数列极限 定义 性质 单调收敛准则 自然对数的底数 开区间与闭区间 区间套定理 Example1 Example2 有限覆盖定理 Example1 Example2 外测度与零测集 Vitali覆盖引理 聚点原理 Baire纲定理 Example1 致密性定理 柯西收敛准则 上下极限 Example1 Stolz定理 实数的完备性基本定理 函数极限 定义 单侧极限 双侧极限 自变量趋于无穷时的极限 上下极限 第一可数公理 无穷大量和无穷小量 Example1 Example2 Example3 Example4 Example5 Example6 连续函数 一致连续 李氏连续 闭区间下的连续函数 介值定理(零点存在定理) Example1 有界定理 最值定理 康托尔定理 不动点和周期点 压缩映照原理 李-约克定理 引理一 引理二 引理三 李-约克定理 Sharkovskii定理 引理 sharkovskii定理 导数 导数基本运算 反函数的导数 隐函数求导 Example1 参数方程的求导 Example1 初等函数的导数 常函数 三角函数 反三角函数 指数函数 对数函数 幂函数 一般初等函数 单调函数的导数 李氏连续函数的导数 微分 微分与导数(微商) 导函数的性质 费马定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 Example1 Example2 Example3 柯西中值定理 广义微分中值定理 广义罗尔中值定理 广义拉格朗日中值定理 导函数与间断点 函数的升降性 函数的极值 达布定理 函数的凹凸性 经典不等式 琴生不等式 Example1 均值不等式 柯西-赫尔德不等式 闵可夫斯基(Minkovski)不等式 洛必达法则 0/0型 \(\infty\)/\(\infty\)型 泰勒公式 拉格朗日余项 解析函数 拉格朗日插值 函数的作图 渐近线 作图 牛顿迭代 积分 不定积分 不定积分的运算 积分表 换元法 Example1 分部积分 Example1 Example2 Example3 Example4 Example5 有理分式的不定积分 有理三角函数的不定积分 无理函数的不定积分 双曲换元 Example1 Example2 Example3 椭圆积分 黎曼积分 可积性与连续性的关系(勒贝格定理) 可积函数的简单性质 广义原函数 牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本定理) Example1 Example2(黎曼引理) Example3 Example4(Dirichlethe) Example5 换元法 Example1 Example2 Example3 分部积分 Example1 Example2 Example3(Wallis公式) 泰勒公式的积分余项 Example1 积分第一中值定理 Example1 Example2 积分第二中值定理 Example1 有界变差函数 定积分的应用 Example1(图形证明不等式) Example2(参数方程曲线面积) Example3(极坐标的面积) Example4(参数方程曲线的弧长) Example5(极坐标下的弧长公式) Example6(等周不等式) Example7(求多面体体积) Example8(旋转体的侧面积公式) Example9(\(\pi\)的无理性证明) Example10(古鲁金第一定理) Example11(古鲁金第二定理) Example12(转动惯量) Example13 定积分近似计算 广义积分 Example1 Example2 Example3 Example4 Example5 Example6 Example7 Example8(欧拉积分) Example9(Frullani积分) Example10 Example11 Example12 Example13 Example14 Example15 Example16 Example17 Example18(磨光核函数) Example19 Example20 RS积分 级数 - Example1 - Example2 - Example3 正项级数 Example1 Example2 Example3 Example4 Example5 Example6 Example7 Example8 Example9 Example10 Example11 交错级数 Example1 Example2 Example3 积分判别法 Example1 级数的交换顺序 Example 级数的乘法 无穷乘积 Example1 Example2 Example3 Example4 Example5 Example6 函数项数列 - Example1 - Example2 - Example3 - Example4 - Example5 一致收敛 Example1 Example2 Example3 Example4 Example5 Example6 Example7 函数项级数 Example1 Example2 M判别法 DA判别法 Example1 连续性 Example1 Example2 可积性 Example1 Example2 可微性 Example1 Example2 部分应用 Borel引理 维尔斯特拉斯函数 连续曲线充满平面 幂级数 Example1 柯西和 逐项微积分 Example1 泰勒级数 Example1(广义二项式定理) Example2(反三角函数) Example3(平方倒数和) Example4 Example5 Example6 Example7 Example8 Example9 Example10 Example11 Example12 Example13 Example14 Example15 Example16 多项式逼近 Example1 Example2 Example3(Lemma) Example4(黎曼引理) Example5 傅里叶级数 Example1 Example2 与原函数的收敛关系 Example1 Example2 Example3 Example4 一致收敛到原函数的情形 Example1 Cesaro收敛 平均收敛 Example1 Example2 逐项积分 逐项微分 收敛速度的估计 复数形式 三角级数的唯一性问题 傅里叶级数的最佳逼近性 傅里叶级数不逐点收敛到自身的连续周期函数 阅读全文 »
平邑一中集训作业 发表于 2024-10-05 更新于 2025-04-15 分类于 OI Waline： 反悔贪心 扫描线 第一题 第二题 二分图HALL定理 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 第八题 轮廓线dp 第一题 第二题 第五题 第六题 广义串并联图 第一题 第二题 第三题 动态规划第一期 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 组合数学 第一题 第二题/第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 二项式反演 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 第八题 第九题 第十题/第十一题 第十二题 第十三题 字符串算法 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 第八题 第九题 动态规划第二期 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 数据结构 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 第八题 图论 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 第八题 线性代数 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 第八题 第九题 第十题 第十一题 计算几何 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题/第六题/第七题 第九题 第十题 第十一题 第十二题 网络流建图 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 交互题练习 第一题 第二题 第三题 Sub1 Sub2 Sub3 Sub4 Sub5 第四题 第五题 第六题 模拟退火 第一题 第二题 第三题 第五题 第六题 阅读全文 »