今晚学弟问了我这么一个问题:

对于一个圆锥摆,设其绳上拉力为,我们有:

那么问题来了:当小球自然下垂的时候,,但是,左边不等于右边???

怎么处理这个问题呢?

下面是我个人的想法啊,不一定正确.

冷静一下,,我们的确能确认自然下垂的时候,但由于也是,我们没道理判定.

那么我们把角速度换成线速度就有:

这样极限情况下两边就相等了(均为).

或者说我们还可以这么干:

考虑,所以,注意到其实是随着小球下落而单调递减的,但是不可能减到.

另一个想法是:考虑先放一个实体圆锥(可提供支持力),让球在圆锥上转圈,然后逐渐加速到支持力,此时小球会飘起来.我们观察一下这个式子是啥:

考虑引入离心力,只需要让离心力,重力,支持力和拉力四力平衡即可,设绳子与竖直方向的夹角为,作正交分解后立刻有:

替换掉其中的,得到:

考虑和的函数关系,小球从在圆锥摆上的状态到飘起来的状态应该是连续的两段直线,注意到当的时候,它俩的关系是的平行于轴的直线,这段直线会一直延伸到的最低点,也就是的点然后再转上去.

如果这个文章就这么结束还是有点无聊,不如让我们来看个类似的问题:

先来看第一问:

设水平向左为正方向,设小球相对于滑块的水平速度为,滑块速度为.

水平方向动量守恒,当然有.

此时小球的总速度应该为.

小球和滑块的总机械能守恒,当然有:.

两式联立,解得:.

看上去只是麻烦而已,也没那么难嘛.

再来看第二问:

考虑,

而滑块的水平加速度大小应该是,那么惯性力.

而,,整理得到.方向沿半径方向朝向圆心.

这里就要用惯性力了.