近世代数

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前言

本笔记是Paolo Aluffi《Algebra: Chapter0》一书的笔记.并在过程中参考李文威《代数学讲义》和《代数学方法》,复旦大学出版社的《集合论: 对无穷概念的探索》.中途也许会部分重复指涉本人的高等代数笔记,以及网络资料.

这看上去是一个相当庞大的工程.笔者于2025.10.09写下此前言,计划能在2026前完成前四章(集合与范畴,群,环和模,再探群)的内容,第五章(Irreducibility and factorization in integral domains)于我来说是完全新的内容,接下来三章(线性代数,域,再探线性代数)预计并不会讲的有多详细(坦白地,一章讲的有多详细,也许完全取决于我个人对此的熟悉程度).至于最后一章(同调代数),也许需要再拖延一会.总之,笔者希望这并不会耗费一年或者更多的时间.也不希望它占据笔者的全部课余时间(笔者手上还有一套《Software Foundations》还没读完,而且希望能在这一年重温《具体数学》.另外,《数学天书中的证明》也许也在笔者后期的任务当中(会写成整套笔记吗?还是偶尔看到比较漂亮的就单发一期luogu博客).课内的压力并不算轻松.而且除专业知识外,《白痴》已经读了半年了还没读完…)

本文应该会只在个人博客上连载,标题大概率会取《近世代数》.也许会在luogu博客逐章搬运一份,但肯定也是不保证可读性的(luogu博客不支持xymatrix等语法).也许于此之前又要找时间把个人博客再翻新一下,换个国内的服务器部署……但总之,作为一本饱受盛誉的教材,笔者希冀于此中翻新与重塑曾经学过的知识.

Preliminaries: Set theory and categories

Categories

一个范畴\(\mathcal{ C }\)应当包含以下:

  1. 一个类\(\mathrm{Obj} ( \mathcal{ C } )\),其元素称作\(\mathcal{ C }\)的对象.

  2. 对于\(X , Y \in \mathrm{Obj} ( \mathcal{ C } )\)指定一个集合\(\text{Hom}_{\mathcal{ C } } ( X , Y )\),称作\(\mathcal{ C }\)中从\(X\)到\(Y\)的态射.

对于态射来说,其还应当具有以下特点:

  1. 对于\(X \in \text{ Ob } ( \mathcal{ C } )\)存在其到自身的恒等态射\(\text{ id }_X \in \text{ Hom }_{ \mathcal{ C } } ( X , X )\).

  2. 态射间可以进行合成,换言之存在合成映射$: { } ( X , Y ) { } ( Y , Z )_{ } ( X , Z ) $.

另外,合成映射还应当满足:

  1. 结合律:对于\(\mathcal{ C }\)中的态射\(h , g , f\),如果合成有意义,那么\(h ( gf ) = ( hg ) f\).

  2. 单位元:对于\(f \in \text{ Hom }_{ \mathcal{ C } } ( X , Y )\),\(f \circ \text{ id }_X = f = \text{ id }_Y \circ f\).

特别地,我们把\(\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,X)\)中的映射称作自同态(endomorphism),或者简写为\(\mathrm{End}_{\mathcal C}(X)\),这构成一个半群.

不过接下来,当我们讨论的范畴比较明确的时候,我们还是会写\(f:A\to B\)而不是\(f\in \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(A,B)\),毕竟后者太过繁琐了.

虽然这里看上去,morphism感觉和函数没啥区别(在大部分情况下的确如此).然而,只这么理解也有些片面.

Example1

最经典的范畴当然是所有集合以及集合之间的函数组成的范畴,我们将在下面记其为\(\mathrm{Set}\).

Example2

对于一个集合\(S\)和上面的等价关系\(\sim\),定义一种范畴为:

  1. \(\mathrm{Obj}=S\).
  2. 对于\(a,b\in S\),当\(a\sim b\)的时候,定义\(\mathrm{Hom}(a,b)=\{(a,b)\}\);不然定义\(\mathrm{Hom}(a,b)=\emptyset\).

显然,等价关系的传递性也可以导致这里\((a,b)\circ (b,c)\to (a,c)\),并且自反性的确存在\((a,a)\in \mathrm{End}(a)\).因此这的确可以视作一个范畴.

当然,上述也可以看出,一个偏序关系也可以构成一个范畴.

Example3(Slice Category)

对于一个已知的范畴\(\mathcal{C}\),取其中的一个\(A\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})\).下面我们将定义一个新的范畴\(\mathcal{C}_A\):

  1. \(\mathrm{Obj}(\mathcal{C}_A)=\{f:Z\to A|\forall Z\in \mathrm{Obj}(\mathcal C)\}\).
  2. 对于\(f_1:Z_1\to A,f_2:Z_2\to A\).定义\(\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_A}(f_1,f_2)\)为所有的映射\(\sigma:Z_1\to Z_2\),使得下述图表交换:

\[ \xymatrix{ Z_1\ar[rd]_{f_1}\ar[rr]^{\sigma}&&Z_2\ar[ld]^{f_2}\\ &A& } \]

至于复合的性质,只需观察以下交换图表: \[ \xymatrix{ Z\ar[rd]_{f}\ar[rr]^{\mathrm{id}}&&Z\ar[ld]^{f}\\ &A& } \] 以及: \[ \xymatrix{ Z_1\ar[rd]_{f_1}\ar[r]^{\sigma}&Z_2\ar[d]_{f_2}\ar[r]^{\tau}&Z_3\ar[ld]^{f_3}\\ &A& } \] 后者的原因是\(f_1=f_2\circ \sigma,f_2=f_3\circ \tau\),所以\(f_1=f_3\circ(\tau\circ \sigma)\).

Example4(Coslice Category)

如果在Slice Categories中让\(A\)改为指向的集合,则称作一个Coslice Categories.其一个经典的例子是\(\mathrm{Set^*}\):取\(A\)为一个单点集合\(\{*\}\).此时,\(\mathrm{Obj}(\mathcal {C}_A)\)由若干二元组\((S,s)\)组成,其中\(s\in S\),原因是\(A\to S\)的function正是选择了\(S\)中的一个元素.

此时,在两个Object\((S,s)\)和\((T,t)\)之间的morphism就是所有满足\(\sigma:S\to T,\sigma(s)=t\)的function.

这种范畴同样应用广泛.例如对于群来说,从\((S,\mathrm{id}_S)\)到\((T,\mathrm{id}_T)\)的群同态\(f\),需要满足的正是\(f(\mathrm{id}_S)=\mathrm{id}_T\).

Example5

类似Slice category,对于一个范畴\(\mathcal{C}\),我们取其中的两个\(A,B\in \mathrm{Obj}(\mathcal {C})\).接下来我们定义一个新的范畴\(\mathcal{C}_{A,B}\),其中:

  1. \(\mathrm{Obj}(\mathcal{C}_{A,B})\)为所有的\(\{(Z,f:Z\to A,g:Z\to B|\forall Z\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C}))\}\).
  2. \(\mathrm{Hom}((Z_1,f_1,g_1),(Z_2,f_2,g_2))\)定义为原本的态射\(\sigma\),使得下述交换图表成立:

\[ \xymatrix{ &&A\\ Z_1\ar@/^/[rru]^{f_1}\ar@/_/[rrd]_{g_1}\ar[r]^{\sigma}&Z_2\ar[ru]_{f_2}\ar[rd]^{g_2}&\\ &&B } \]

验证这的确是范畴,可以看下面两个交换图表,单位元的: \[ \xymatrix{ &&A\\ Z\ar@/^/[rru]^{f}\ar@/_/[rrd]_{g}\ar[r]^{\mathrm{id}}&Z\ar[ru]_{f}\ar[rd]^{g}&\\ &&B } \] 以及态射: \[ \xymatrix{ &A&\\ Z_1\ar@/^/[ru]^{f_1}\ar@/_/[rd]_{g_1}\ar[r]^{\sigma}&Z_2\ar[u]_{f_2}\ar[d]^{g_2}\ar[r]^{\tau}&Z_3\ar@/^/[ld]^{g_3}\ar@/_/[lu]_{f_3}\\ &B& } \]

Morphism

也许我们需要再次重申单射(injection)符号为\(\hookrightarrow\),满射(surjection)符号为\(\twoheadrightarrow\),以及双射(bijection)符号为\(\xrightarrow{\sim}\).我曾经一直有一个误解是,既然都双射了,为啥不用\(\cong\)符号呢.但其实即使是双射,也往往有一个方向是更加典范的.不过,由于这个双射箭头符号确实有一点点丑,所以如果没有特别需求,我们一般还是用\(\cong\)吧.

熟知的结论是:

  1. 一个映射\(f\)是单射当且仅当它存在左逆.
  2. 一个映射\(f\)是双射当且仅当它存在右逆.

因此,也许我们可以重新,以一种新的角度来定义单射和双射.例如,一个映射\(f:A\to B\)是单射,当且仅当存在一个映射\(g:B\to A\),使得下述图表交换: \[ \xymatrix{ A\ar[r]^f\ar[rd]_{\mathrm{id}_A}&B\ar[d]^g\\ &A } \] 函数复合天然具有结合律.这点非常重要.例如,我可以以此证明一个双射一定存在逆:

因为它是双射,所以它既是单射又是漫射,它既存在一个左逆\(g_1\),也存在一个右逆\(g_2\).此时看: \[ g_1=g_1(fg_2)=g_1fg_2=(g_1f)g_2=g_2 \] 这种看法天然存在优越性:它没有再关注每个集合里的每一个元素,而是以一种外部的函数复合的策略观察.不过,这种看法还是略显狭隘:它的目光只看着\(A,B\)两个集合.让我们定义一个更棒的版本:“和”满态射(Epimorphism)“):

我们定义一个映射\(f:A\to B\)是单态射(Monomorphism),当且仅当\(\forall W,\forall \alpha_1,\alpha_2:W\to A\),如果\(f\circ \alpha_1=f\circ \alpha_2\),则\(\alpha_1=\alpha_2\).同时,定义一个映射\(f:A\to B\)是满态射(Epimorphism),当且仅当\(\forall W,\forall \alpha_1,\alpha_2:B\to W\),如果\(\alpha_1\circ f=\alpha_2\circ f\),则\(\alpha_1=\alpha_2\).既单又满的同态叫做同构(Isomorphism).

接下来我们证明,在\(\mathrm{Set}\)范畴中,单态射等价于单射:

当一个映射\(f\)是单射,那它必然存在左逆,从而它必然是一个单态射.

反过来,当一个映射\(f\)是满态射.我们可以取一个单点集\(W=\{p\}\),此时,\(\alpha_1:W\to A\),无非是在选择一个元素\(a_1\in A,\alpha_1(p)=a_1\).此时\((f\circ \alpha_1)p=f(a_1)\),从而导出\(\forall a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2\),这正是单射的定义.

满态射等价于双射也是同理的:假设存在一个\(b\in B\)使得\(b\notin f(A)\),则取一个双点集\(W=\{t,f\}\),然后搞两个\(\alpha_1,\alpha_2\)使得\(\alpha_1(b)\ne \alpha_2(b)\)即可.

让我们来介绍一些典型的单态射和满态射:

Example1(笛卡尔积)

显然有: \[ \xymatrix{ &A\times B\ar@{->>}[ld]_{\pi_A}\ar@{->>}[rd]^{\pi_B}&\\ A&&B } \]

Example2(无交并)

显然有: \[ \xymatrix{ A\ar@{^{(}->}[rd]&&B\ar@{_{(}->}[ld]\\ &A\coprod B& } \]

Example3(Canonical Projection)

容易发现对于任意等价关系,存在一个满射\(A\twoheadrightarrow A/\sim\).

Example4(Inclusion)

如果\(A\subseteq B\),则存在一个自然的嵌入单射\(A\hookrightarrow B\).

Canonical Decomposition

考虑对于一个映射\(f:A\to B\),定义一个相应的等价关系\(\sim_f\),其中\(a_1\sim_f a_2\Leftrightarrow f(a_1)=f(a_2)\).则此时我们需要导出一个\(\tilde{f}:A/\sim_f\xrightarrow{\sim} \mathrm{im} f\),使得\(\tilde{f}([a]_{\sim_f})=f(a)\).

这并不难验证.首先检验良定性(well-defined),也就是当\([a_1]_{\sim_f}=[a_2]_{\sim_f}\)时,的确有\(f(a_1)=f(a_2)\).这只是定义.随后需要检验这的确是一个双射,这是非常好验证的.

则下述交换图表成立(下表也可以看作是对\(f\)的一个标准分解): \[ \xymatrix{ A\ar[r]^f\ar@{->>}[d]&B\\ (A/\sim_f)\ar[r]_{\tilde{f}}^{\sim}&{\mathrm{im} f}\ar@{^{(}->}[u] } \] 乍一看,这个结论似乎相当平凡.然而,当\(\sim_f\)有一些更好的性质的时候,这个东西立刻就有用起来了.比如当处理群同态的时候,此时\(a\sim_f b\)当且仅当\(ab^{-1}\in \ker f\),从而\(A/\sim_f\)也就是\(A/\ker f\),于是上面的分解自然就是第一同构定理\(A/\ker f\cong \mathrm{im}f\).