近世代数

• 前言
• Preliminaries: Set theory and categories
  • Categories

    * [Example1](#example1)
    * [Example2](#example2)
    * [Example3(Slice Category)](#example3slice-category)
    * [Example4(Coslice Category)](#example4coslice-category)
    * [Example5](#example5)
    

  • Morphism

    * [Example1(Cartesian Product)](#example1cartesian-product)
    * [Example2(Disjoint Union)](#example2disjoint-union)
    * [Example3(Canonical Projection)](#example3canonical-projection)
    * [Example4(Inclusion)](#example4inclusion)
    

    • Canonical Decomposition
    • Initial Object and Final Object
      • Example1(Partially Ordered Set)
      • Example2(Set)
    • Universal Properties
      • Example1(Quotient)
      • Example2(Product)
      • Example3(Coproduct)
• Groups, first encounter

前言

本笔记是Paolo Aluffi《Algebra: Chapter0》一书的笔记.并在过程中参考李文威《代数学讲义》和《代数学方法》,复旦大学出版社的《集合论: 对无穷概念的探索》.中途也许会部分重复指涉本人的高等代数笔记,以及网络资料.

本文应该会只在个人博客上连载,标题大概率会取《近世代数》.也许会在luogu博客逐章搬运一份,但肯定也是不保证可读性的(luogu博客不支持xymatrix等语法).也许于此之前又要找时间把个人博客再翻新一下,换个国内的服务器部署……但总之,作为一本饱受盛誉的教材,笔者希冀于此中翻新与重塑曾经学过的知识.

教材是英文的,而且这个方向好像比较冷门,所以后面的名词可能会逐渐变为英文.

Preliminaries: Set theory and categories

Categories

一个范畴$\mathcal{ C }$应当包含以下:

1. 一个类$\mathrm{Obj} ( \mathcal{ C } )$,其元素称作$\mathcal{ C }$的对象.

2. 对于$X , Y \in \mathrm{Obj} ( \mathcal{ C } )$指定一个集合$\text{Hom}_{\mathcal{ C } } ( X , Y )$,称作$\mathcal{ C }$中从$X$到$Y$的态射.

对于态射来说,其还应当具有以下特点:

1. 对于$X \in \text{ Ob } ( \mathcal{ C } )$存在其到自身的恒等态射$\text{ id }_X \in \text{ Hom }_{ \mathcal{ C } } ( X , X )$.

2. 态射间可以进行合成,换言之存在合成映射$\circ : \text{Hom}_{ \mathcal{C } } ( X , Y ) \times \text{Hom}_{ \mathcal{C } } ( Y , Z )\to \text{Hom}_{ \mathcal{C } } ( X , Z ) $.

另外,合成映射还应当满足:

1. 结合律:对于$\mathcal{ C }$中的态射$h , g , f$,如果合成有意义,那么$h ( gf ) = ( hg ) f$.

2. 单位元:对于$f \in \text{ Hom }_{ \mathcal{ C } } ( X , Y )$,$f \circ \text{ id }_X = f = \text{ id }_Y \circ f$.

特别地,我们把$\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,X)$中的映射称作自同态(endomorphism),或者简写为$\mathrm{End}_{\mathcal C}(X)$,这构成一个半群.对于其中所有的同构则称作自同构(automorphism),记作$\mathrm{Aut}_{\mathcal{C}}(X)$.

不过接下来,当我们讨论的范畴比较明确的时候,我们还是会写$f:A\to B$而不是$f\in \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$,毕竟后者太过繁琐了.

虽然这里看上去,morphism感觉和函数没啥区别(在大部分情况下的确如此).然而,只这么理解也有些片面.

此外,如果一个范畴里所有的同态都是同构,那么我们就称其是一个广群(groupoid).

Example1

最经典的范畴当然是所有集合以及集合之间的函数组成的范畴,我们将在下面记其为$\mathrm{Set}$.

Example2

对于一个集合$S$和上面的等价关系$\sim$,定义一种范畴为:

1. $\mathrm{Obj}=S$.
2. 对于$a,b\in S$,当$a\sim b$的时候,定义$\mathrm{Hom}(a,b)=\{(a,b)\}$;不然定义$\mathrm{Hom}(a,b)=\emptyset$.

显然,等价关系的传递性也可以导致这里$(a,b)\circ (b,c)\to (a,c)$,并且自反性的确存在$(a,a)\in \mathrm{End}(a)$.因此这的确可以视作一个范畴.

当然,上述也可以看出,一个偏序关系也可以构成一个范畴.

Example3(Slice Category)

对于一个已知的范畴$\mathcal{C}$,取其中的一个$A\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$.下面我们将定义一个新的范畴$\mathcal{C}_A$:

1. $\mathrm{Obj}(\mathcal{C}_A)=\{f:Z\to A|\forall Z\in \mathrm{Obj}(\mathcal C)\}$.
2. 对于$f_1:Z_1\to A,f_2:Z_2\to A$.定义$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_A}(f_1,f_2)$为所有的映射$\sigma:Z_1\to Z_2$,使得下述图表交换:

$$\xymatrix{ Z_1\ar[rd]_{f_1}\ar[rr]^{\sigma}&&Z_2\ar[ld]^{f_2}\\ &A& }$$

至于复合的性质,只需观察以下交换图表:

$$\xymatrix{ Z\ar[rd]_{f}\ar[rr]^{\mathrm{id}}&&Z\ar[ld]^{f}\\ &A& }$$

以及:

$$\xymatrix{ Z_1\ar[rd]_{f_1}\ar[r]^{\sigma}&Z_2\ar[d]_{f_2}\ar[r]^{\tau}&Z_3\ar[ld]^{f_3}\\ &A& }$$

后者的原因是$f_1=f_2\circ \sigma,f_2=f_3\circ \tau$,所以$f_1=f_3\circ(\tau\circ \sigma)$.

Example4(Coslice Category)

如果在Slice Categories中让$A$改为指向的集合,则称作一个Coslice Categories.其一个经典的例子是$\mathrm{Set^}$:取$A$为一个单点集合$\{\}$.此时,$\mathrm{Obj}(\mathcal {C}_A)$由若干二元组$(S,s)$组成,其中$s\in S$,原因是$A\to S$的function正是选择了$S$中的一个元素.

此时,在两个Object$(S,s)$和$(T,t)$之间的morphism就是所有满足$\sigma:S\to T,\sigma(s)=t$的function.

这种范畴同样应用广泛.例如对于群来说,从$(S,\mathrm{id}_S)$到$(T,\mathrm{id}_T)$的群同态$f$,需要满足的正是$f(\mathrm{id}_S)=\mathrm{id}_T$.

Example5

类似Slice category,对于一个范畴$\mathcal{C}$,我们取其中的两个$A,B\in \mathrm{Obj}(\mathcal {C})$.接下来我们定义一个新的范畴$\mathcal{C}_{A,B}$,其中:

1. $\mathrm{Obj}(\mathcal{C}_{A,B})$为所有的$\{(Z,f:Z\to A,g:Z\to B|\forall Z\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C}))\}$.
2. $\mathrm{Hom}((Z_1,f_1,g_1),(Z_2,f_2,g_2))$定义为原本的态射$\sigma$,使得下述交换图表成立:

$$\xymatrix{ &&A\\ Z_1\ar@/^/[rru]^{f_1}\ar@/_/[rrd]_{g_1}\ar[r]^{\sigma}&Z_2\ar[ru]_{f_2}\ar[rd]^{g_2}&\\ &&B }$$

验证这的确是范畴,可以看下面两个交换图表,单位元的:

$$\xymatrix{ &&A\\ Z\ar@/^/[rru]^{f}\ar@/_/[rrd]_{g}\ar[r]^{\mathrm{id}}&Z\ar[ru]_{f}\ar[rd]^{g}&\\ &&B }$$

以及态射:

$$\xymatrix{ &A&\\ Z_1\ar@/^/[ru]^{f_1}\ar@/_/[rd]_{g_1}\ar[r]^{\sigma}&Z_2\ar[u]_{f_2}\ar[d]^{g_2}\ar[r]^{\tau}&Z_3\ar@/^/[ld]^{g_3}\ar@/_/[lu]_{f_3}\\ &B& }$$

Morphism

也许我们需要再次重申单射(injection)符号为$\hookrightarrow$,满射(surjection)符号为$\twoheadrightarrow$,以及双射(bijection)符号为$\xrightarrow{\sim}$.我曾经一直有一个误解是,既然都双射了,为啥不用$\cong$符号呢.但其实即使是双射,也往往有一个方向是更加典范的.不过,由于这个双射箭头符号确实有一点点丑,所以如果没有特别需求,我们一般还是用$\cong$吧.

熟知的结论是:

1. 一个映射$f$是单射当且仅当它存在左逆.
2. 一个映射$f$是满射当且仅当它存在右逆.

因此,也许我们可以重新,以一种新的角度来定义单射和双射.例如,一个映射$f:A\to B$是单射,当且仅当存在一个映射$g:B\to A$,使得下述图表交换:

$$\xymatrix{ A\ar[r]^f\ar[rd]_{\mathrm{id}_A}&B\ar[d]^g\\ &A }$$

函数复合天然具有结合律.这点非常重要.例如,我可以以此证明一个双射一定存在逆:

因为它是双射,所以它既是单射又是满射,它既存在一个左逆$g_1$,也存在一个右逆$g_2$.此时看:

$$g_1=g_1(fg_2)=g_1fg_2=(g_1f)g_2=g_2$$

这种看法天然存在优越性:它没有再关注每个集合里的每一个元素,而是以一种外部的函数复合的策略观察.不过,这种看法还是略显狭隘:它的目光只看着$A,B$两个集合.让我们定义一个更棒的版本:

我们定义一个映射$f:A\to B$是单态射(Monomorphism),当且仅当$\forall W,\forall \alpha_1,\alpha_2:W\to A$,如果$f\circ \alpha_1=f\circ \alpha_2$,则$\alpha_1=\alpha_2$.同时,定义一个映射$f:A\to B$是满态射(Epimorphism),当且仅当$\forall W,\forall \alpha_1,\alpha_2:B\to W$,如果$\alpha_1\circ f=\alpha_2\circ f$,则$\alpha_1=\alpha_2$.既单又满的同态叫做同构(Isomorphism).

接下来我们证明,在$\mathrm{Set}$范畴中,单态射等价于单射:

当一个映射$f$是单射,那它必然存在左逆,从而它必然是一个单态射.

反过来,当一个映射$f$是单态射.我们可以取一个单点集$W=\{p\}$,此时,$\alpha_1:W\to A$,无非是在选择一个元素$a_1\in A,\alpha_1(p)=a_1$.此时$(f\circ \alpha_1)p=f(a_1)$,从而导出$\forall a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$,这正是单射的定义.

满态射等价于双射也是同理的:假设存在一个$b\in B$使得$b\notin f(A)$,则取一个双点集$W=\{t,f\}$,然后搞两个$\alpha_1,\alpha_2$使得$\alpha_1(b)\ne \alpha_2(b)$即可.

让我们来介绍一些典型的单态射和满态射:

Example1(Cartesian Product)

显然有满态射:

$$\xymatrix{ &A\times B\ar@{->>}[ld]_{\pi_A}\ar@{->>}[rd]^{\pi_B}&\\ A&&B }$$

Example2(Disjoint Union)

显然有单态射:

$$\xymatrix{ A\ar@{^{(}->}[rd]&&B\ar@{_{(}->}[ld]\\ &A\coprod B& }$$

Example3(Canonical Projection)

容易发现对于任意等价关系,存在一个满态射$A\twoheadrightarrow A/\sim$.

Example4(Inclusion)

如果$A\subseteq B$,则存在一个自然的嵌入单态射$A\hookrightarrow B$.

Canonical Decomposition

考虑对于一个映射$f:A\to B$,定义一个相应的等价关系$\sim_f$,其中$a_1\sim_f a_2\Leftrightarrow f(a_1)=f(a_2)$.则此时我们需要导出一个$\tilde{f}:A/\sim_f\xrightarrow{\sim} \mathrm{im} f$,使得$\tilde{f}([a]_{\sim_f})=f(a)$.

这并不难验证.首先检验良定性(well-defined),也就是当$[a_1]_{\sim_f}=[a_2]_{\sim_f}$时,的确有$f(a_1)=f(a_2)$.这只是定义.随后需要检验这的确是一个双射,这是非常好验证的.

则下述交换图表成立(下表也可以看作是对$f$的一个标准分解):

$$\xymatrix{ A\ar[r]^f\ar@{->>}[d]&B\\ (A/\sim_f)\ar[r]_{\tilde{f}}^{\sim}&{\mathrm{im} f}\ar@{^{(}->}[u] }$$

乍一看,这个结论似乎相当平凡.然而,当$\sim_f$有一些更好的性质的时候,这个东西立刻就有用起来了.比如当处理群同态的时候,此时$a\sim_f b$当且仅当$ab^{-1}\in \ker f$,从而$A/\sim_f$也就是$A/\ker f$,于是上面的分解自然就是第一同构定理$A/\ker f\cong \mathrm{im}f$.

Initial Object and Final Object

对于一个范畴$\mathcal{C}$:

1. 对于$I\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$,如果$\forall A\in \mathrm{Obj}(\mathcal {C})$,$\mathcal{C}$中存在唯一的同态$I\to A$,则称$I$是始(initial)对象.
2. 对于$F\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$,如果$\forall A\in \mathrm{Obj}(\mathcal {C})$,$\mathcal{C}$中存在唯一的同态$A\to F$,则称$F$是终(final)对象.
3. 如果一个对象是initial的或者final的,有时又称其为端(terminal)的(但这种说法似乎并不常见,而且从字面上容易和final搞混,因此下面会避免采用),如果一个对象既是initial又是final的,则称其为零(zero)对象.

范畴里当然可以有很多个initial object和很多个final object,但是我们可以说它们up to isomorphism是唯一的:

1. 任意两个initial object $I_1,I_2$都满足$I_1\cong I_2$.
2. 任意两个final object $F_1,F_2$都满足$F_1\cong F_2$.

两者类似,下面只看(1).根据定义,存在唯一的同态$I_1\to I_1$,又根据范畴的定义这只能是$1_{I_1}$.由于它们都是initial的,因此存在唯一的$f:I_1\to I_2$和$g:I_2\to I_1$.然而复合告诉我们必有$fg=1_{I_2}$和$gf=1_{I_1}$,这就搞定了.

Example1(Partially Ordered Set)

一个很好的例子是有最大最小值的偏序集,其最大值就是一个initial对象,最小值则是一个final对象.此外显然$(\mathbb{Z},\leq)$中没有始/终对象.

Example2(Set)

显然$\emptyset$是initial的,同时任何单点集(singleton)都是final的.

如果读者足够熟悉coq,应当能发现这就是为什么在coq中的False被定义为类似空集的东西,而True被定义为类似单点集的东西.

Universal Properties

我们说一个构造满足泛性质(Universal Property),当它可以在某个范畴里被视作一个initial/final object.

有的时候,我们选择不去描述这个范畴具体是什么,而只是说:对于所有的其他构造,我们都能找到它打向/被打向我们的构造的一个方式.

Example1(Quotient)

我们说canonical projection $\pi:A\twoheadrightarrow A/\sim$是一个universal solution,对于所有要求把等价元素映射于同一个值的映射.

考虑所有的$\varphi:A\to Z$,满足$a\sim b\Rightarrow \varphi(a)=\varphi(b)$.它们会组成一个Coslice Category:

$$\xymatrix{ Z_1\ar[rr]^{\sigma}&&Z_2\\ &A\ar[ru]_{\varphi_2}\ar[lu]^{\varphi_1}& }$$

现在我们要来证明$(\pi,A/\sim)$是其中的initial object.也就是要证明对于任意的$(\varphi,Z)$存在唯一的$\bar \varphi$使得下图交换:

$$\xymatrix{ A/\sim\ar[rr]^{\bar\varphi}&&Z\\ &A\ar[ru]_{\varphi}\ar[lu]^{\pi}& }$$

容易看到$\bar \varphi$的唯一性是显然的,因为必须满足$\bar \varphi([a]_{\sim})=\varphi(a)$.接下来要证明其存在性,也就是当$a\sim b$时恒有$ \varphi(a)=\varphi(b)$,这自然是定义.

Example2(Product)

考虑我们曾见过的范畴$\mathcal{C}_{A,B}$:

$$\xymatrix{ &&A\\ Z_1\ar@/^/[rru]^{f_1}\ar@/_/[rrd]_{g_1}\ar[r]^{\sigma}&Z_2\ar[ru]_{f_2}\ar[rd]^{g_2}&\\ &&B }$$

我们断言$A\times B$是其中的一个final object,也即总存在唯一的$\sigma$,使得下图交换:

$$\xymatrix{ &&A\\ Z_1\ar@/^/[rru]^{f_A}\ar@/_/[rrd]_{f_B}\ar[r]^{\sigma}&A\times B\ar[ru]_{\pi_A}\ar[rd]^{\pi_B}&\\ &&B }$$

这其实非常显然,因为要求$\sigma(z)=(f_A(z),f_B(z))$,因此这直接指定了其唯一性和存在性.

值得一提的是,我们这里完全没管$\mathrm{Set}$这个事.如果我们当前的范畴$\mathcal{C}$是之前所说的$(\mathbb{Z},\leq)$呢?那$a\to b$当且仅当$a\leq b$.此时的product表现为$\min(a,b)$.

Example3(Coproduct)

考虑我们曾见过的范畴$\mathcal{C}^{A,B}$,我们说事实上$A\coprod B$是上面的一个initial product,也就是对于任意$(Z,f_A,f_B)$,都存在唯一的$\sigma$使得下图交换:

$$\xymatrix{ A\ar@/^/[rrd]^{f_A}\ar[rd]_{i_A}&&\\ &A\coprod B\ar[r]^\sigma&Z\\ B\ar[ru]^{i_B}\ar@/_/[rru]_{f_B}&& }$$

也就是说$f_A=\sigma\circ i_A,f_B=\sigma\circ i_B$,这事实上也比较显然了.

Groups, first encounter

我们接下来将谈论一个特殊的范畴$\mathrm{Grp}$,它实际上是所有群组成的范畴.

一个很好的对群的定义是”单元素的广群”,它实际上揭示的道理是群中的每个”元素”实际上应该被看作一种”自同构”.总之我们下面不妨直接用$*$来指代这个唯一的元素,而用$\mathcal{G}$来代表此广群.

我们不会在这里牵扯太多基础的事情.