没想到这个系列博客都出到第三节了.

之所以起这么个名字,是因为下面要开搞的数列很像真理元素的这个视频.但其实下面的操作和这个视频并没有什么关系.

而且其实理论上,这篇博客的名字应该叫《被qyc创飞了(1)》

前天,qyc给我发了一个博客,里面提供了一种非常厉害的估计数列的方法.我一看就觉得超级厉害啊,因为这个题我之前也做过然后被爆杀了,而竟然可以拿科技秒掉.

大概讲一下qyc的神仙操作:

考虑构造一个函数使得,那我们就可以将.

这个第一眼看上去就很有道理,而事实上也确实很有道理,原因是根据拉格朗日中值定理,,而对于增长率变化不大的函数,直接认为是有理可循的!

@Minuses在知乎上找到了这个东西的系统理论.但是我没有看.

然后,原式子就变成了一个微分方程了,带入解得.这个精度已经足够选出来原本的放缩题的答案了.

但是我不满意!具体数学上教过我们可以用数列估计误差项,那现在我们来考虑一下它的误差项吧!

令,带入化简,得到的递推式:

算到这里,我们可以很轻易使用数学归纳法算出,这个精度已经挺不错的了,但是也让人觉得很不满意,因为这个误差项怎么和估计项是同阶的啊.

然后我开始估计了一下这个的阶,因为我其实没学过什么高超的高数技巧,所以我使用了OI的一些技巧来估计,不妨假设:

.

那么应该是级别的对吧!然后我就开始算,算了一晚上也没放出来一个式子,相当自闭.

晚上回家咨询了一下汪神wzm,得知了这个是级别的,这下白算一晚上了.

如何理解这个级别?考虑别乱动的系数,我们有:

这警戒我们以后乱估计的时候千万别把和搞混了,警钟长鸣.

这个时候大概估计一下会发现.

但是如果你尝试带入数学归纳,会发现完全做不动.怎么办呢?

在这个问题被搞出来后两个周,我妈的一位同事给出了纯文化课的牛逼做法,下面来介绍一下这个做法并且终结此题:

首先换元,上面等价于下面这个数列放缩:

观察形式,注意到这个东西很像一个类似裂项的东西,因此两边取倒数,自然有:

考虑,于是我们有下面这个不等式:

两边求和有:

仔细观察下面这个式子:

我们上面的操作实质上是使用这个式子将这个放缩给缩紧了,所以我们再用一次这个式子再紧一遍.

两边求和自然有:

这个界甚至比我们给出的界还要紧.而且似乎继续迭代可以得到更紧的解!相当牛逼!