高中物理的时候有这么一个题,然后今天刚好信物讲到了,顺手来总结一下.

先来个简单版本:我从一个点打炮弹,目标与我的距离为,且目标比我高,问以什么样的角度打出炮弹能使得击中目标并且初速度最小.

我们当然会第一反应认为这是一个很简单的问题,考虑,因为我们很容易写出方程:

只需要对后面那个东西用辅助角公式就可以了对吧,非常简单啊!

然而,我们稍微改下题面:

我从一个高度为的点打炮弹,初速度确定为,问以什么样的角度打炮弹能打得最远.

这有啥区别啊,只需要改个正负号就行了是吧,让我们看看:

这下发现问题了,这个根本拿不出来啊.

重新按部就班,发现只能用求根公式得到的表达式,更进一步地,我们有:

怎么办呢?yth老师给出了一个想法是使用柯西不等式,注意到:

当且仅当的时候取等.

还有一种策略是考虑对隐函数求导然后令,这样得到情况会和我们一开始的初始问题得到的答案相等,也就是当的时候会取极限.这也很好理解,因为我们如果当前的速度没有用到极限打到最远,总能调整使得得到一个更小的速度打到当前的距离,因此距离还有提高的空间.

有没有更聪明一点的办法呢?

我们注意到初速度是定值,根据机械能守恒定律,末速度的大小一定是个定值,我们考虑:

通过机械能守恒定律可以算出.

注意到和的水平方向分速度是相同的.然后有一个天才的想法是,考虑上述那个向量式的三角形法则,设那个三角形的面积为,注意到,而,也就是面积最大的时候应该是和夹角为的时候.

直接从形式上来看:

我们知道正交分解的时候从结果上来说可以作分方向的动能定理,因此初速度是,末速度是,因此.

这个想法过于震惊了,以至于我在之后多次回忆起这个题,想去找到初速度与末速度叉积的物理意义.但直到如今我也没有完全理解这个做法.

写到这发现没活整了,顺便在这写一下另一个斜抛题:

抛射质量为的小球,抛射倾角为,初速度大小为,所受空气阻力与速度的关系为,其中为固定系数,求小球在空气中运行的轨迹曲线.

考虑.

于是:

对于第一个式子,令我们有:

同理解出.

综上参数方程是:.

轨迹方程是:.