事情是这样的,很久很久很久以前,我做了一个圆锥曲线压轴题,大概就是椭圆轴上蝴蝶定理硬算题给我整傻眼了.今天我闲的没事乱想突然意识到椭圆可以仿射变换到圆来解决,那么圆肯定有很优美的做法了吧!

然而我瞪了半天也没看出来,没办法最后拿联消判韦把圆的结论搓出来了.

这个时候我又想看看其它的圆锥曲线,发现双曲线好像有点不太会,因为我不是很懂双曲线的内部是啥,然后我发现抛物线的蝴蝶定理更加优美.

所以我就把这一坨东西出了思考题,下面是整理.

约定

下文称三点满足蝴蝶定理,当且仅当A,B,C三点都在圆锥曲线内部,并且过A的直线与圆锥曲线交于两点,分别与圆锥曲线交于两点,而且恒过点.

抛物线

定理1

对于任何一条抛物线以及与其内部一点,过点与抛物线相交的两个点的横坐标之积等于.

证明:联立即可.

定理2

对于任何一条抛物线以及其内部的三点,三点满足蝴蝶定理当且仅当.

证明:由定理1,我们有:

x_Qx_{Q'}=b2\x_{P'}x_{Q'}=c2\end{cases}

简单解一下就可以.

定理3

对于任何一条抛物线以及其内部的两点,要么存在一个点使得三点满足蝴蝶定理,要么的斜率恒定.

证明:

引理

如果一条动直线中,满足一次方程,那么这条直线肯定过定点.

而如果可以找到一个参数,使得可以做到将分别表示为的形式,其中都是关于的一次函数或常函数,那么这条直线要么过定点,要么斜率恒定.

对于这条直线,这个相当好找,可以是,可以是,可以是,然后带入简单检验一下即可.

圆

定理(坎迪定理)

特例

对于任何一个圆以及其内部三点,若三点满足蝴蝶定理,当且仅当.

通解

对于任何一个圆,我们有下图(图源自百度百科)

那么.

该定理的几何/代数证明好像都略麻烦,笔者决定开摆

@Querainy 牛逼,下面给出他提供的曲线系证明:

我们尝试把这个做法拓展到坎迪定理上.

照葫芦画瓢,设圆心为,得到.

此时,,,.

而.

笔者后来思考了一下为什么这个是二次曲线系啊.

我们考虑求过四个定点的二次曲线系,不妨假设这些二次曲线均为\

带入四个定点坐标,就可以得到关于的四个方程.不妨先假设这四个方程线性无关.那么就有两个自由元,那么方程的任何一个解,就可以表示为两组线性无关的特解的线性组合.

注意到两个二次曲线线性相关,当且仅当它们是同一条曲线,这就证明了二次曲线系的正确性!

那么怎么证明这四个方程线性无关呢,不太会啊,这次真摆了.

椭圆

定理1

对于任何一个椭圆以及其内部三点,若三点满足蝴蝶定理,当且仅当.

证明:

注意到圆的坎迪定理的特例,然后发现我们如果将椭圆的纵轴拉长使其成为一个圆,换言之就是对椭圆进行仿射变换,那么三点坐标不变并且仍然满足蝴蝶定理.

其它

众所周知,极点极线有一个经典内切四边形结论,其实也就是所谓的完全四边形啊.

给张图,

其中成调和点列.

我们冷静一下,注意到就是一个二次曲线,而且是二次曲线上四个点,所以这个还可以用曲线系方程来证明这四个点成调和点列,非常有实力.

当然,为了应对文化课,我们有更加简单的证明完全四边形调和点列的做法:

不妨设,令,则,对比系数得到两个方程,再加上,立刻解出结论.