在YT2S 2021级生2课上有一个著名的open problem,也就是在计算自由交配的时候能否拆开考虑,下面我来尝试写一点自己的理解.

首先来看两个问题(前置条件均为孟德尔第二次杂交实验):

  1. 将F2中双显性植株自由交配,求后代表现型及比例.

  2. 将F2中单显性植株(包括两种单显性植株)自由交配,求后代表现型及比例.

为了方便笔者书写,不妨设这两对基因是和.

先来看第一个问题,双显性植株中应该有:.先让第一组基因自由交配,也就是只看,我们有和,产生和配子,得到,也就是.对另一对也这么考虑,最终得到.

非常合理且简洁对吧,但如果你同样拆开考虑第二个问题,会发现这么做是错误的.

我们生物老师LL老师给出的解释是,单显性植株的个体是和,它们的基因型并没有组合的非常彻底,也就是并没有出现和个体,导致不能乱拆开.

而直觉上感觉这个东西和独立性有关对吧,我们来简单证明一下:

约定是或,则是,那么:.如果可以拆开,那么,于是有:,也就是这两种基因型互相独立就行,老师说的对啊!

如果只是这样就水了一篇博客非常无聊对吧,能不能证明一点更好玩的结论呢?

考虑设产生四种配子的概率分别是,其中.

使用生成函数技巧,配子法给出的答案应该是:,而拆分再乘起来的答案应该是,其中均为形式幂.

如果两边相等,有:

两边展开,就可以知道它的充分必要条件是,也就是产生和的配子概率是独立的.