前言

本笔记是Paolo Aluffi《Algebra: Chapter0》一书的笔记.并在过程中参考李文威《代数学讲义》和《代数学方法》,复旦大学出版社的《集合论: 对无穷概念的探索》.中途也许会部分重复指涉本人的高等代数笔记,以及网络资料.

本文应该会只在个人博客上连载,标题大概率会取《近世代数》.也许会在luogu博客逐章搬运一份,但肯定也是不保证可读性的(luogu博客不支持xymatrix等语法).也许于此之前又要找时间把个人博客再翻新一下,换个国内的服务器部署......但总之,作为一本饱受盛誉的教材,笔者希冀于此中翻新与重塑曾经学过的知识.

教材是英文的,而且这个方向好像比较冷门,所以后面的名词可能会逐渐变为英文.

Preliminaries: Set theory and categories

Categories

一个范畴应当包含以下:

  1. 一个类,其元素称作的对象.

  2. 对于指定一个集合,称作中从到的态射.

对于态射来说,其还应当具有以下特点:

  1. 对于存在其到自身的恒等态射.

  2. 态射间可以进行合成,换言之存在合成映射.

另外,合成映射还应当满足:

  1. 结合律:对于中的态射,如果合成有意义,那么.

  2. 单位元:对于,.

特别地,我们把中的映射称作自同态(endomorphism),或者简写为,这构成一个半群.对于其中所有的同构则称作自同构(automorphism),记作.

不过接下来,当我们讨论的范畴比较明确的时候,我们还是会写而不是,毕竟后者太过繁琐了.

虽然这里看上去,morphism感觉和函数没啥区别(在大部分情况下的确如此).然而,只这么理解也有些片面.

此外,如果一个范畴里所有的同态都是同构,那么我们就称其是一个广群(groupoid).

Example1

最经典的范畴当然是所有集合以及集合之间的函数组成的范畴,我们将在下面记其为.

Example2

对于一个集合和上面的等价关系,定义一种范畴为:

  1. .
  2. 对于,当的时候,定义;不然定义.

显然,等价关系的传递性也可以导致这里,并且自反性的确存在.因此这的确可以视作一个范畴.

当然,上述也可以看出,一个偏序关系也可以构成一个范畴.

Example3(Slice Category)

对于一个已知的范畴,取其中的一个.下面我们将定义一个新的范畴:

  1. .
  2. 对于.定义为所有的映射,使得下述图表交换:
$$ \xymatrix{ Z_1\ar[rd]_{f_1}\ar[rr]^{\sigma}&&Z_2\ar[ld]^{f_2}\\ &A& } $$

至于复合的性质,只需观察以下交换图表:

$$ \xymatrix{ Z\ar[rd]_{f}\ar[rr]^{\mathrm{id}}&&Z\ar[ld]^{f}\\ &A& } $$

以及:

$$ \xymatrix{ Z_1\ar[rd]_{f_1}\ar[r]^{\sigma}&Z_2\ar[d]_{f_2}\ar[r]^{\tau}&Z_3\ar[ld]^{f_3}\\ &A& } $$

后者的原因是,所以.

Example4(Coslice Category)

如果在Slice Categories中让改为指向的集合,则称作一个Coslice Categories.其一个经典的例子是:取为一个单点集合.此时,由若干二元组组成,其中,原因是的function正是选择了中的一个元素.

此时,在两个Object和之间的morphism就是所有满足的function.

这种范畴同样应用广泛.例如对于群来说,从到的群同态,需要满足的正是.

Example5

类似Slice category,对于一个范畴,我们取其中的两个.接下来我们定义一个新的范畴,其中:

  1. 为所有的.
  2. 定义为原本的态射,使得下述交换图表成立:
$$ \xymatrix{ &&A\\ Z_1\ar@/^/[rru]^{f_1}\ar@/_/[rrd]_{g_1}\ar[r]^{\sigma}&Z_2\ar[ru]_{f_2}\ar[rd]^{g_2}&\\ &&B } $$

验证这的确是范畴,可以看下面两个交换图表,单位元的:

$$ \xymatrix{ &&A\\ Z\ar@/^/[rru]^{f}\ar@/_/[rrd]_{g}\ar[r]^{\mathrm{id}}&Z\ar[ru]_{f}\ar[rd]^{g}&\\ &&B } $$

以及态射:

$$ \xymatrix{ &A&\\ Z_1\ar@/^/[ru]^{f_1}\ar@/_/[rd]_{g_1}\ar[r]^{\sigma}&Z_2\ar[u]_{f_2}\ar[d]^{g_2}\ar[r]^{\tau}&Z_3\ar@/^/[ld]^{g_3}\ar@/_/[lu]_{f_3}\\ &B& } $$

Morphism

也许我们需要再次重申单射(injection)符号为,满射(surjection)符号为,以及双射(bijection)符号为.我曾经一直有一个误解是,既然都双射了,为啥不用符号呢.但其实即使是双射,也往往有一个方向是更加典范的.不过,由于这个双射箭头符号确实有一点点丑,所以如果没有特别需求,我们一般还是用吧.

熟知的结论是(假设定义域和值域都非空):

  1. 一个映射是单射当且仅当它存在左逆.
  2. 一个映射是满射当且仅当它存在右逆.

因此,也许我们可以重新,以一种新的角度来定义单射和双射.例如,一个映射是单射,当且仅当存在一个映射,使得下述图表交换:

$$ \xymatrix{ A\ar[r]^f\ar[rd]_{\mathrm{id}_A}&B\ar[d]^g\\ &A } $$

函数复合天然具有结合律.这点非常重要.例如,我可以以此证明一个双射一定存在逆:

因为它是双射,所以它既是单射又是满射,它既存在一个左逆,也存在一个右逆.此时看:

这种看法天然存在优越性:它没有再关注每个集合里的每一个元素,而是以一种外部的函数复合的策略观察.不过,这种看法还是略显狭隘:它的目光只看着两个集合.让我们定义一个更棒的版本:

我们定义一个映射是单态射(Monomorphism),当且仅当,如果,则.同时,定义一个映射是满态射(Epimorphism),当且仅当,如果,则.既单又满的同态叫做同构(Isomorphism).

接下来我们证明,在范畴中,单态射等价于单射:

当一个映射是单射,那它必然存在左逆,从而它必然是一个单态射.

反过来,当一个映射是单态射.我们可以取一个单点集,此时,,无非是在选择一个元素.此时,从而导出,这正是单射的定义.

满态射等价于双射也是同理的:假设存在一个使得,则取一个双点集,然后搞两个使得即可.

让我们来介绍一些典型的单态射和满态射:

Example1(Cartesian Product)

显然有满态射:

$$ \xymatrix{ &A\times B\ar@{->>}[ld]_{\pi_A}\ar@{->>}[rd]^{\pi_B}&\\ A&&B } $$
Example2(Disjoint Union)

显然有单态射:

$$ \xymatrix{ A\ar@{^{(}->}[rd]&&B\ar@{_{(}->}[ld]\\ &A\coprod B& } $$
Example3(Canonical Projection)

容易发现对于任意等价关系,存在一个满态射.

Example4(Inclusion)

如果,则存在一个自然的嵌入单态射.

Canonical Decomposition

考虑对于一个映射,定义一个相应的等价关系,其中.则此时我们需要导出一个,使得.

这并不难验证.首先检验良定性(well-defined),也就是当时,的确有.这只是定义.随后需要检验这的确是一个双射,这是非常好验证的.

则下述交换图表成立(下表也可以看作是对的一个标准分解):

$$ \xymatrix{ A\ar[r]^f\ar@{->>}[d]&B\\ (A/\sim_f)\ar[r]_{\tilde{f}}^{\sim}&{\mathrm{im} f}\ar@{^{(}->}[u] } $$

乍一看,这个结论似乎相当平凡.然而,当有一些更好的性质的时候,这个东西立刻就有用起来了.比如当处理群同态的时候,此时当且仅当,从而也就是,于是上面的分解自然就是第一同构定理.

Initial Object and Final Object

对于一个范畴:

  1. 对于,如果,中存在唯一的同态,则称是**始(initial)**对象.
  2. 对于,如果,中存在唯一的同态,则称是**终(final)**对象.
  3. 如果一个对象是initial的或者final的,有时又称其为**端(terminal)的(但这种说法似乎并不常见,而且从字面上容易和final搞混,因此下面会避免采用),如果一个对象既是initial又是final的,则称其为零(zero)**对象.

范畴里当然可以有很多个initial object和很多个final object,但是我们可以说它们up to isomorphism是唯一的:

  1. 任意两个initial object 都满足.
  2. 任意两个final object 都满足.

两者类似,下面只看(1).根据定义,存在唯一的同态,又根据范畴的定义这只能是.由于它们都是initial的,因此存在唯一的和.然而复合告诉我们必有和,这就搞定了.

Example1(Partially Ordered Set)

一个很好的例子是有最大最小值的偏序集,其最大值就是一个initial对象,最小值则是一个final对象.此外显然中没有始/终对象.

Example2(Set)

显然是initial的,同时任何**单点集(singleton)**都是final的.

如果读者足够熟悉coq,应当能发现这就是为什么在coq中的False被定义为类似空集的东西,而True被定义为类似单点集的东西.

Universal Properties

我们说一个构造满足泛性质(Universal Property),当它可以在某个范畴里被视作一个initial/final object.

有的时候,我们选择不去描述这个范畴具体是什么,而只是说:对于所有的其他构造,我们都能找到它打向/被打向我们的构造的一个方式.

Example1(Quotient)

我们说canonical projection 是一个universal solution,对于所有要求把等价元素映射于同一个值的映射.

考虑所有的,满足.它们会组成一个Coslice Category:

$$ \xymatrix{ Z_1\ar[rr]^{\sigma}&&Z_2\\ &A\ar[ru]_{\varphi_2}\ar[lu]^{\varphi_1}& } $$

现在我们要来证明是其中的initial object.也就是要证明对于任意的存在唯一的使得下图交换:

$$ \xymatrix{ A/\sim\ar[rr]^{\bar\varphi}&&Z\\ &A\ar[ru]_{\varphi}\ar[lu]^{\pi}& } $$

容易看到的唯一性是显然的,因为必须满足.接下来要证明其存在性,也就是当时恒有,这自然是定义.

Example2(Product)

考虑我们曾见过的范畴:

$$ \xymatrix{ &&A\\ Z_1\ar@/^/[rru]^{f_1}\ar@/_/[rrd]_{g_1}\ar[r]^{\sigma}&Z_2\ar[ru]_{f_2}\ar[rd]^{g_2}&\\ &&B } $$

我们断言是其中的一个final object,也即总存在唯一的,使得下图交换:

$$ \xymatrix{ &&A\\ Z_1\ar@/^/[rru]^{f_A}\ar@/_/[rrd]_{f_B}\ar[r]^{\sigma}&A\times B\ar[ru]_{\pi_A}\ar[rd]^{\pi_B}&\\ &&B } $$

这其实非常显然,因为要求,因此这直接指定了其唯一性和存在性.

值得一提的是,我们这里完全没管这个事.如果我们当前的范畴是之前所说的呢?那当且仅当.此时的product表现为.

Example3(Coproduct)

考虑我们曾见过的范畴,我们说事实上是上面的一个initial product,也就是对于任意,都存在唯一的使得下图交换:

$$ \xymatrix{ A\ar@/^/[rrd]^{f_A}\ar[rd]_{i_A}&&\\ &A\coprod B\ar[r]^\sigma&Z\\ B\ar[ru]^{i_B}\ar@/_/[rru]_{f_B}&& } $$

也就是说,这事实上也比较显然了.

Groups, first encounter

我们接下来将谈论一个特殊的范畴,它实际上是所有群组成的范畴.

一个很好的对群的定义是"单元素的广群",它实际上揭示的道理是群中的每个"元素"实际上应该被看作一种"自同构".总之我们下面不妨直接用来指代这个唯一的元素,而用来代表此广群.

我们不会在这里牵扯太多基础的事情.