为什么有第二集呢? 是因为狭相里也大量使用火车作为比喻, 所以我就又被火车创飞了一次.

先来回忆一下历史背景: 大概是说大家发现麦克斯韦方程组里的光速竟然是一个常数, 大家觉得欸怎么能这样呢, 如果切换参考系会导致光速变化, 这也就是说麦克斯韦方程组只在某个特定的参考系(以及和它保持相对静止的参考系)中保持成立, 这就是后来大家一直在反复打补丁的以太系.

但是后来MM实验发现欸地球相对于以太系的相对速度怎么几乎为啊, 难道地球真的是宇宙的中心. 所以呢后来爱因斯坦就提出了几条原理, 并从这几条原理出发搞定了狭相.

我们先来回忆一些物理学的基本假设, 比如:

  1. 时空均匀性: 坐标间隔的换算不依赖事件发生的位置和时刻
  2. 空间各向同性: 空间没有特殊方向

爱因斯坦提出了另外两条原理:

  1. 相对性原理: 所有惯性系等价, 坐标变换遵循同一套规则.
  2. 光速不变: 真空光在每个惯性系中沿各方向的速度均为.

(此外还有物理学中经常假设的各种变换都是连续可逆的等等)

现在来看两个惯性系, 其中的原点相对于沿着方向以速度运动, 在时二者原点恰好重合, 而且中途不发生转动.

对于一个事件, 假设它在系下观察是, 在系下观察是. 存在一个坐标变换函数. 由于共同零点的选择, 我们知道.

时空均匀性要求对于相同参考系下的相同事件间隔, 换算的结果相同, 也就是, 取得到. 回忆到连续且可加的函数必定是线性函数, 因此我们知道一定是一个线性映射.

考虑将和一起绕轴旋转度, 按理来说结果应该完全相同, 然而此时的符号取反. 从而的表达式中不能出现. 我们要解的方程只是:

现在我们需要干掉这四个未知数, 我们的方式是:

  1. 考虑原点, 此时.

我们有,也就有, .

  1. 考虑原点, 此时.

我们有和, 得到, 综合一下得到.

  1. 光速在各个惯性参考系中观察都是不变的, 从而如果在时从原点沿着方向发出一道光, 此时.

于是. .

还有. 联立上面得到.

最终我们会得到如下变换:

  1. 相对性原理告诉我们, 惯性参考系平权. 也就是说它们的变换函数也应该是完全等价的形式. 从变回应该有完全一样的法则, 于是:

然而空间各向同性要求, 相反的运动方向不该改变转换系数, 我们有, 导出, 一般我们把这个记作.

对于方向的分析类似, 这里略掉, 最终的洛伦兹变换即是:

欸这个时候有朋友就要问了: 你这个洛伦兹变换的推导过程在网上一搜一大把, 你水这篇博客的意义是什么呢?

为了解释这件事, 我们引入一个新的物理量叫时空间隔, 记作. 这实际上就是一种双线性形式, 它对应的对称矩阵实际上就是, 我们往往把这个东西叫做闵可夫斯基度规, 它自然导出了一个对称双线性形式.

现在来看洛伦兹变换, 对于向量, 它实际上也是一个矩阵:

这个变换矩阵实际上保时空间隔不变, 也就是说有. 请感兴趣的读者自行检查该结论.

聪明的读者到这里一定会有两个疑问:

  1. 如果已知洛伦兹变换, 能否推导出J就是“典范”的被其保模长的双线性形式
  2. 如果已知时空间隔, 能否推导出L就是“典范”的保其模长的线性变换

此博客的主要目的就是尝试解释这两点. 但在此之前, 我们不得不将洛伦兹变换推广到一族矩阵(而不是仅仅假设只在轴方向上运动).

我们现在规定(或者你认为我们考虑的向量形式为). 此时再看:

其中. 也许这个形式还是不够好看, 可如果我令, . 你应当立刻见到端倪: 两维构成了一个双曲平面, 而正长成:

也许你还记得高代课本上的对于普通内积的实正交变换的标准型分类. 我们的做法是: 先讨论维和维的情况, 然后对于一个实正交变换, 我们知道如果以复的视角去看它, 它一定可以正交分解, 而且分解出的特征值要么是, 要么是成对共轭出现. 对于那些的特征值, 对应维的子空间不变或翻转; 对于那些成对共轭出现的特征值则对应维的子空间旋转. 最后的形状就一定是:

现在假设我们面对双曲平面上的, 你也容易证明确实是上面的保距变换的标准型. 也许你在此时会突然认为只要把四维时空拆成一个双曲平面和一个欧式平面, 就可以完整获得上述这样漂亮的标准型. 很遗憾这条路是走不通的. 请看GPT构造的如下例子(据说叫null rotation):

它的确保时空间隔不变, 然而时它不可对角化: 注意到, 如果它可对角化, 它的所有特征值必定为. 也就是说它应该只能是一个单位矩阵.

这就否定了我们刚才的想法: 如果四维时空在某个洛伦兹变换下, 可以拆成双曲平面和欧式平面, 它们分别是可对角化的, 因此直和必定也可以对角化.

现在没招了, 我们来硬解这个矩阵方程吧. 首先两边取行列式得到, 起码我们知道应该可逆, 而且. 又因为, 我们还知道, 从而.

打个洞先, 不妨设, 直接展开上述方程得到. 整理方程得到:

开始换元, 直接设. 立刻得到.

我们下面来关注一类特殊的对称矩阵解, 考虑, 其中. 我们刚才剩下的两条方程:

此时考虑这个: 如果假设, 它显然应该是; 而如果, 那么它在方向显然是恒等变换, 而在方向上, 容易算出特征值恰为. 立刻就能求出它的正定平方根作为. 综合二者, 用你敏锐的观察力可以发现通用形式为. 这样我们就解出了. 对于它的逆, 根据, 我们知道相当于后三行和后三列分别取负, 也就得到了.

现在我们来展示所有的解都长什么样子, 考虑. 由于右边都保持, 我们知道也保持. 由于的第一行是第一行的倍, 我们知道的第一行一定是. 我们记.

回看原本的后两条方程, 由于, 立刻可以得到, 于是, 也就是是一个三维旋转矩阵. 这就给出了全部解: , 其中, , . 我们在这里略去检查增根的环节, 读者可以自行检查.

我们好像走得有一些远, 以至于忘记了为什么要走到这里. 我们接下来展示这个矩阵的物理意义:

  1. : 决定相对速度.

要看相对于如何运动, 我们需要在视角下追踪的原点, 考虑什么东西能变到. 我们来解一下方程:

于是, , 从而的原点在中的速度确实是. 于是我们通常称为Boost矩阵: 它决定相对运动带来的各种效应.

  1. : 表示时间前进的方向.
  2. : 决定坐标轴的朝向.

这也比较显然, 我们这里的boost矩阵都算差不多了, 你最后再转一下就是了. 此外也可以看到表示空间坐标的某种手性.

接下来我们还要解释两件事: 如何从这个洛伦兹变换矩阵看出我们狭相的最重要原理之一: 光速不变.

设一段光传播连接的两个事件, 在某个惯性系中的坐标差为, 其中 光速为, 意味着, 也就是. 换到另一个参考系, 由于洛伦兹变换保该二次型不变, 这就搞定.